查找有向图中所有圈的算法加速策略

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简介

有向图G(V,E)，圈是一个起始节点与终止节点相同的路径，即 a->….->a。找到所有的圈可能要遍历所有的路径，这就涉及到算法性能的考虑。本文基于深度优先搜索，讨论查找所有圈的算法加速策略。

无向图的查圈算法

深度优先搜索算法是从已知节点出发，图的一种遍历算法。只要一个节点被同源两个路径访问，这两个路径则形成一个圈。因为每个节点只处理一次，所以时间与空间复杂度都是O(N)。其算法如下：

DFS(a) for undirected graph

stack.push(a)

while not stack.empty

i = stack.pop

mark i as accessed

{j} = adjacent(i)

stack.push({j where j is not accessed })

对于无向图来说，每个 i的邻节点 j ，如果已经 accessed，那么形成一个圈。注意此时并不知道圈中的每个节点是什么。因此算法要针对有向图改造，而且要记录圈中的每个节点，每个圈都不能遗漏，还要保持高性能。

有向图的查圈算法

对于有向图来说，要记录从 a 到 i 的路径，才能判断 i的邻接点j 是否形成一个圈。算法如下：

DFS(a) for directed graph

stack.push(<{a}, 0>) //采用 stack 记录路径

while not stack.empty

<set, k> = stack.top

mark set[k++] not in stack // in-stack为路径标记

if set[k] in stack

record(set[k], stack) //在stack中找到圈上所有节点

continue

mark set[k] in stack // set[k]为当前路径上的节点

if k>|set|

stack.pop

else

stack.push(<adjacent(set[k]), 0>)

这个算法遍历了所有从 a 出发的路径，满足了查找圈的功能，不会遗漏任何一个圈。然而要穷举所有路径，这个算法通常会很慢，需要采用一些加速策略。

查圈算法的加速策略

通常的策略是对图的简化，各种情况如下：

• 0入度、0出度的节点：直接消除。因为所有在圈上的节点的入度和出度数都大于1。这是一个迭代的过程，因为消除一个可能产生另外一个。如果与邻接点形成一个圈，记录下来，直接消除。
• 相邻的1入度节点和1出度节点：合并。因为通过其中一个节点必通过另外一个节点。
  • 　　特殊情况，2度节点，即1入1出的节点。可以形成一个长链，合并成一个节点；也可能与另外节点形成一个圈，直接记录下来。

另一个策略是一边查找，一边合并在一个圈上的节点。节点在一个圈上，这是一个等价关系。合并节点可以提高圈套圈情况下的查找性能；还可以混合使用各种查圈算法。例如，无向图的查圈算法速度不错，但是会遗漏一些圈，因此可以放在有向图的查圈算法之前执行。

还有一种策略是对图建立一系列简化图，即建立简化映射，然后对简化图进行查圈操作。当查圈操作和其它应用操作需要混合处理时，这种策略的算法更清晰。

开发加速策略，需要注意两点：

1. 关注有向图的统计信息，采取有针对性地加速策略。
2. 对于大型图，很难单步调试。需要自动检测一些约束条件来保证操作的正确性，这方面可参照“最弱前置条件”。

结语

这个问题没有查到更好的解决方案，主要采用图简化策略来加速算法，结果还不错。

查找有向图中所有圈的算法加速策略

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原文地址：http://www.cnblogs.com/liuyunfeng/p/6121465.html