前言

在图形学中，特别是涉及到3D的时候，矩阵变换起着非常重要的作用。在实际使用的过程当中，通常每一帧画面可能都会涉及到成千上万个顶点的坐标变换，如果没有矩阵变换计算，一个是计算复杂，一个是难以达到我们想要的计算效率。本小节将介绍通过矩阵计算来实现基本的图形变换。

矩阵

矩阵是一种多个数据集合的表示方式，定义为：由 m × n 个数$a_{ij}$排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

矩阵的存在主要是由于它的运算，下面来简单看一下：

加法

$\begin{bmatrix} 2& 3 & \\ 6& 7& \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1& 2 & \\ 3& 4& \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3& 5 & \\ 9& 11& \end{bmatrix}$
可以看到，矩阵加法就是对应的位置的数值相加。

减法

$\begin{bmatrix} 2& 3 & \\ 6& 7& \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1& 2 & \\ 3& 4& \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& 1 & \\ 3& 3& \end{bmatrix}$
可以看到，矩阵减法就是对应的位置的数值相减。

乘法

$\begin{bmatrix} 1 & 0 &2 \\ -1 & 3 &1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 3 &1 \\ 2 &1 \\ 1 &0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} (1*3+0*2+2*1) &(1*1+0*1+2*0) \\ (-1*3+3*2+1*1) &(-1*1+3*1+1*0) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

乘法规则示意图如下：

在矩阵乘法中，注意，左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数。

转置

把矩阵的行和列位置进行互换的矩阵，称为矩阵的转置。
$例如： \begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \end{bmatrix}的转置矩阵为 \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix}$
$通常写成： \begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

矩阵有很多的特性以及计算定律，这里只是介绍一些基本概念，以后需要用到再继续填充本小节的内容。

矩阵跟图形变换的关系

之前我们学习过了基本的图形变换，知道比如要平移一个三角形，实际上只要对三角形三个顶点都进行平移，重新绘制出来的三角形就是平移后的三角形。在3D的世界里，我们会通过对顶点的各种运算，然后重绘，来得到各种图形的基本变换。基本变换包括平移、旋转和缩放，然而从之前的学习中可以发现，每一种基本的变换都使用了不同的公式，形式不一，这达不到一种很好的效果，特别对硬件而言，要针对多种变换去优化代价是比较大的。矩阵的出现恰好解决了这个难题，通过矩阵运算，使各种基本变换（包括以后学习的各类高级变换）达成了一致的计算模型，使得硬件可以针对矩阵运算模型进行优化。

3阶旋转矩阵

之前通过推导，得到了点的旋转公式如下：

$$x‘=x\cos \beta -y\sin \beta \y‘=x\sin \beta + y\cos \beta \z‘=z\(公式1)$$
为了进行计算的矩阵化，我们需要用到矩阵乘法，如下：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e &f \\ g & h &i \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$$
我们的目标是找到一个矩阵，通过矩阵计算，能够把一个点给转换成目标点，如果能够找到这样的矩阵，那么只需要提供旋转矩阵，便可以得到旋转后的点坐标。根据矩阵的运算，有：
$$x‘ = ax + by + cz\y‘ = dx + ey + fz\z‘ = gx + hy + iz\(公式2)$$
对比公式1和公式2，先看$x‘$，如下：
$$x‘=x\cos \beta -y\sin \beta \x‘ = ax + by + cz$$
显然可得出：
$$a=\cos\beta\\ b=-\sin\beta\c=0$$
再来看$y‘$，如下：
$$y‘=x\sin \beta + y\cos \beta \y‘ = dx + ey + fz$$
显然可得出：
$$d=\sin\beta\\ e=\cos\beta\f=0$$
最后来看下$z‘$，如下：
$$z‘=z\z‘ = gx + hy + iz$$
显然可得出：
$$g=0\\ h=0\i=1$$
于是，我们找到了旋转矩阵，满足点的旋转计算：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta &0 \\ \sin\beta & \cos\beta &0 \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$$

平移

通过旋转矩阵的推导，对于平移操作，如果我们也想找到相应的3*3矩阵来进行平移计算，先来看看$x‘$的情况：

$$x‘=x+T_{x}\x‘ = ax + by + cz$$
可以发现，第一个等式有个常量$T_{x}$，而第二个等式都是变量，这显然无法推导出a,b,c的值。既然3*3矩阵无法满足我们的需求，我们来试试4*4矩阵，也就是我们要找到这样的矩阵，满足如下计算：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & b &c & d\\ e & f &g & h\\ i & j &k & l \\ m & n &o & p \\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\1 \end{bmatrix}$$
之前我们曾提到过，用4个值来表示一个三维坐标称为齐次坐标表示，比如，三维空间中，坐标(x,y,z)可以用齐次坐标$(x‘,y‘,z‘,w)$表示 ，归一化为$(x‘/w,y‘/w,z‘/w,1)$，而我们上面的假设显然是使用了齐次坐标的归一化表示，不影响点的坐标。

该4*4矩阵的乘法表示如下：

$$x‘ = ax + by + cz+d\y‘ = ex + fy + gz+h\z‘ = ix + jy + kz+l\1 = mx + ny+oz + p$$
根据最后一个等式可以推出：
$$m = n = o = 0 , p=1$$
此外，我们将$x‘,y‘,z‘$的等式跟平移等式进行对比，平移等式为：
$$x‘=x+T_{x}\y‘=y+T_{y}\z‘=z+T_{z}\$$
对比$x‘$等式，很容易得出：
$$a=1,b=0,c=0,d=T_{x}$$
对比$y‘$等式，很容易得出：
$$e=0,f=1,g=0,h=T_{y}$$
对比$z‘$等式，很容易得出：
$$i=0,j=0,k=1,l=T_{z}$$
于是，我们找到了平移矩阵，满足点的平移计算：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 & T_{x}\\ 0 & 1 &0 & T_{y}\\ 0 & 0 &1 & T_{z}\0 & 0 &0 & 1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\1 \end{bmatrix}$$

4阶旋转矩阵

我们发现平移需要用到4*4，而之前旋转矩阵用到的是3*3矩阵，这显然还不太统一，于是，我们想办法把3*3的旋转矩阵转为4*4的旋转矩阵。经过前面的学习，我们很容易得出如下方程组：

$$x‘=x\cos \beta -y\sin \beta \y‘=x\sin \beta + y\cos \beta \z‘=z\x‘ = ax + by + cz+d\y‘ = ex + fy + gz+h\z‘ = ix + jy + kz+l\1 = mx + ny+oz + p$$
现在，我们基本可以一眼就看出来每个变量的值是多少了，这里不再详细说明，直接给出最后的旋转矩阵：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta &0 & 0\\ \sin \beta & \cos \beta &0 & 0\\ 0 & 0 &1 & 0\0 & 0 &0 & 1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\1 \end{bmatrix}$$

缩放矩阵

经过前面的学习，我们很容易得到求缩放矩阵相关方程组：

$$x‘=x * S_{x} \y‘=y * S_{y} \z‘=z * S_{z}\x‘ = ax + by + cz+d\y‘ = ex + fy + gz+h\z‘ = ix + jy + kz+l\1 = mx + ny+oz + p$$
一样非常简单可以求得缩放矩阵，满足点的缩放操作：
$$\begin{bmatrix} x‘\\ y‘\\ z‘\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} S_{x} & 0 &0 & 0\\ 0 & S_{y} &0 & 0\\ 0 & 0 &S_{z} & 0\\ 0 & 0 &0 & 1 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\1 \end{bmatrix}$$

矩阵示例

前面讲了那么多的矩阵变换，我们尝试使用矩阵来实现平移效果。首先来看一下顶点着色器代码：

// 顶点着色器代码(决定顶点的位置、大小、颜色)
var VSHADER_SOURCE = 
  ‘attribute vec4 a_Position;\n‘ +
  ‘uniform mat4 u_xformMatrix;\n‘ +
  ‘void main() {\n‘ +
  ‘  gl_Position = u_xformMatrix * a_Position;\n‘ + //webgl内置支持矩阵乘法
  ‘  gl_PointSize = 10.0;\n‘ +      // 设置顶点的大小
  ‘}\n‘;

以上定义了一个叫u_xformMatrix的4*4矩阵变量，然后与顶点进行了相乘，得到最后的顶点坐标。
接着来看一下矩阵的定义：

// webgl按列的模式来读，所以定义矩阵时要使用转置矩阵
var xformMatrix = new Float32Array([
    1.0 , 0.0 , 0.0 , 0.0,
    0.0 , 1.0 , 0.0 , 0.0,
    0.0 , 0.0 , 1.0 , 0.0,
    Tx , Ty , Tz , 1.0
]);
var u_xformMatrix = context.getUniformLocation(context.program, ‘u_xformMatrix‘);
context.uniformMatrix4fv(u_xformMatrix , false , xformMatrix);

最终得到的效果图如下：

矩阵变换实现三角形的旋转和缩放的原理是一样的，只需要修改矩阵的定义即可，大家可以尝试一下。

模型矩阵

前面讲到的矩阵变换都是针对单个变换的，如果想要对一个三角形同时进行平移和缩放，该如何处理呢？

如果仔细想想，不难得到如下等式：

$$变换后点坐标 = 缩放矩阵 * (平移矩阵 * 点坐标)$$

根据矩阵乘法结合律，又可得：

$$变换后点坐标 = (缩放矩阵 * 平移矩阵) * 点坐标$$

我们来看个多重变换的例子，把一个三角形平移后再进行缩放，先来看下顶点着色器代码：

// 顶点着色器代码(决定顶点的位置、大小、颜色)
var VSHADER_SOURCE = 
  ‘attribute vec4 a_Position;\n‘ +
  ‘uniform mat4 u_translateMatrix;\n‘ +
  ‘uniform mat4 u_scaleMatrix;\n‘ +
  ‘void main() {\n‘ +
  ‘  gl_Position = u_scaleMatrix * u_translateMatrix * a_Position;\n‘ +
  ‘  gl_PointSize = 10.0;\n‘ +      // 设置顶点的大小
  ‘}\n‘;

可以看到，顶点着色器先计算两个变换矩阵相乘，最后再乘以顶点坐标。
变换矩阵的赋值如下所示：

var Tx = 0.5 , Ty = 0.5 , Tz = 0.0;
// 按列方向读取，定义时使用矩阵转置
var translateMatrix = new Float32Array([
    1.0 , 0.0 , 0.0 , 0.0,
    0.0 , 1.0 , 0.0 , 0.0,
    0.0 , 0.0 , 1.0 , 0.0,
    Tx , Ty , Tz , 1.0
]);
var u_translateMatrix = context.getUniformLocation(context.program, ‘u_translateMatrix‘);
context.uniformMatrix4fv(u_translateMatrix , false , translateMatrix);

// 缩小一半
var Sx = Sy = Sz = 0.5;
// 按列方向读取，定义时使用矩阵转置
var scaleMatrix = new Float32Array([
    Sx , 0.0 , 0.0 , 0.0,
    0.0 , Sy , 0.0 , 0.0,
    0.0 , 0.0 , Sz , 0.0,
    0.0 , 0.0 , 0.0 , 1.0
]);
var u_scaleMatrix = context.getUniformLocation(context.program, ‘u_scaleMatrix‘);
context.uniformMatrix4fv(u_scaleMatrix , false , scaleMatrix);

最终效果图如下：

我们在顶点着色器中计算了两个矩阵相乘，实际上，三角形三个顶点我们重复计算了三遍，如果有一万个顶点，这样子处理是非常浪费时间的，更高效的做法是先计算好两个矩阵相乘，然后顶点着色器只定义一个最终的矩阵即可，我们再来看看之前定义的矩阵：

$$变换后点坐标 = (缩放矩阵*平移矩阵) * 点坐标$$
实际上，我们把点坐标左边的矩阵计算统称为模型矩阵，所以上面的式子又可以写成：
$$变换后点坐标 = 模型矩阵 * 点坐标$$
这样定义的好处是顶点着色器确实只需要定义最终的模型矩阵变量，而模型矩阵变量可以使用js进行计算，这样是非常高效的，这也是我们推荐的方式。

小结

本篇探讨了一下基本的矩阵变换，这对于认识到矩阵的巨大用处是非常重要的。在3D的世界里，其实就是各种矩阵的计算，然后得到变换后的顶点的坐标，最后再绘制出来。知道了矩阵的使用原理，为以后更加复杂的投影变换打下基础。

源码

点击下载（基础矩阵变换）

参考

<<WebGL编程指南>>
百度百科-向量
百度百科-矩阵