标签：大于 pad pre 介绍 相同 nbsp www 算法 优先
转自beyond the void 的博客：
https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan
注：红色为标注部分
在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，
Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
?如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。
算法伪代码如下
tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过 tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点v还在栈内 Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根 repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点 print v until (u== v) }
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附：tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i) { int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex; instack[i]=true; Stap[++Stop]=i; for (edge *e=V[i];e;e=e->next) { j=e->t; if (!DFN[j]) { tarjan(j); if (LOW[j]<LOW[i]) LOW[i]=LOW[j]; } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i]) LOW[i]=DFN[j]; } if (DFN[i]==LOW[i]) { Bcnt++; do { j=Stap[Stop--]; instack[j]=false; Belong[j]=Bcnt; } while (j!=i); } } void solve() { int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN)); for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i); }
[参考资料]
BYVoid 原创作品，转载请注明。
?思想： http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5402414.html
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?做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]
?
?在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。
?
?DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。
?（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）
?如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。
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?如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。
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另外附一篇资料，写的也很好：
---Comzyh
https://comzyh.com/blog/archives/517/
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected),如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图.
如图所示,蓝色框圈起来的是一个强连通分量
通俗的说法是:从图G内任意一个点出发,存在通向图G内任意一点的的一条路径.
非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components,SCC).
求图强连通分量的意义是:由于强连通分量内部的节点性质相同,可以将一个强连通分量内的节点缩成一个点,即消除了环,这样,原图就变成了一个有向无环图(directed acyclic graph,DAG).显然对于一个无向图,求强连通分量没有什么意义,联通即为强连通.
求强连通分量比较高效的算法是SCC Tarjan算法,BYV牛有一个很好的说明,推荐大家看一看:有向图强连通分量的Tarjan算法? Beyond the Void,我在这里就不照搬了.
Tarjan 算法基本基于DFS,时间复杂度就是遍历图一遍,为Θ(N),Tarjan 貌似很喜欢深搜的样子,LCA被深搜活生生的弄成了Θ(N),SCC 看来一样,Tarjan 一出现,时间复杂度果然降了一个数量级.
先看BYV牛的CODE,写的真不错,虽然第一遍我没看懂,不过相信加了注释后会好理解多,如果有错误,别打我.
void tarjan(int i)//Tarjan { int j; DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;//Index 时间戳 instack[i]=true;//标记入栈 Stap[++Stop]=i;//入栈 for (edge *e=V[i];e;e=e->next)//枚举所有相连边 { j=e->t;//临时变量 if (!DFN[j])//j没有被搜索过 { tarjan(j);//递归搜索j if (LOW[j]<LOW[i])//回溯中发现j找到了更老的时间戳 LOW[i]=LOW[j];//更新能达到老时间戳 } else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])//如果已经印有时间戳 且 时间戳比较小,则有环 LOW[i]=DFN[j];//当前记录可追溯时间戳更新 } if (DFN[i]==LOW[i])//可追溯最老是自己,表明自己是当前强连通分量的栈底 { Bcnt++;//强连通分量数增加 do { j=Stap[Stop--];//出栈顶元素 instack[j]=false;//标记出栈 Belong[j]=Bcnt;//记录j所在的强连通分量编号 } while (j!=i);//如果是当前元素,弹栈完成 } } void solve() { int i; Stop=Bcnt=Dindex=0; memset(DFN,0,sizeof(DFN));//标记为为搜索过 for (i=1;i<=N;i++) if (!DFN[i]) tarjan(i); }
SCC Tarjan算法的基本框架:
这里解释下比较晦涩的两个词:
LOW[i],这个向前追溯可追溯到的最老时间戳 的意思是根据有向图的方向遍历,在有环的情况下,向前追溯可以达到较早的点.在每次递归调用Tarjan(j)后我们可以高速较快的更新LOW[i]
至于所有强连通分量的元素中在栈中最早的节点.是这样的,所有自成强连通分量的节点或子图,在本次弹栈前都已经弹出去了,这时栈里所元素的LOW都大于等于DFN[该强连通分量的最早遍历节点],栈顶元素一定比下面元素的时间戳要大
在遍历完所有相关边之后再验证(DFN[i]==LOW[i]),可以避免有漏判情况,这时,当前节点的子节点已经将LOW更新的很优了,不存在一个强连通分量被包含在一个强连通分量里的情况.
学习SCC Tarjan算法有两道测验题:
POJ 1236 Network of Schools
参见Comzyh这两道强连通分量的题解
原创文章，转载请注明(最好把图片带走)： 转载自Comzyh的博客
本文链接地址: 处理SCC(强连通分量问题)的Tarjan算法
标签：大于 pad pre 介绍 相同 nbsp www 算法 优先
原文地址：http://www.cnblogs.com/liuzhanshan/p/6517041.html
