标签：style 应用 计算机 不定方程 nbsp 另一个 没有 gcd font
感谢：http://blog.csdn.net/u014634338/article/details/40210435
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模的逆元；
（3）求解模线性方程（线性同余方程）；
一、解不定方程
对于不定整数方程pa+qb=c，
1.若 c mod gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
2.在找到p * a+q * b = gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/gcd(p, q) * t
q = q0 - a/gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
由此可以求出p * a+q * b = gcd(p, q)的一系列解
3.至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解
p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
#include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)///模板 { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b, a%b, x, y); int t=y; y=x-(a/b)*y; x=t; return r; } int main() { int x,y,a=5,b=6,n=3; int ans=exgcd(a,b, x, y); if(n%ans){///无整数解 printf("NO\n"); } else { cout<<a<<"x+"<<b<<"y="<<ans<<"的一个整数解为:"<<endl; cout<<"x="<<x<<" "<<"y="<<y<<" "<<endl; cout<<"a*x+b*y=gcd(a,b)前10个解\n"; int p=x+b/ans;///1. int q=y-a/ans; int o=1; while(1){ if(o==10)break; cout<<"x="<<p<<" "<<"y="<<q<<" "<<endl; o++; p=x+b/ans*o; q=y-a/ans*o; } cout<<"a*x+b*y=n*gcd(a,b)前10个解\n"; p = p*(n/ans);///2. q = q*(n/ans); o=1; while(1){ if(o==10)break; cout<<"x="<<p<<" "<<"y="<<q<<" "<<endl; o++; p=x+b/ans*o; q=y-a/ans*o; } ///求最小整数解 int t=x*n/ans;///3. int temp=b/ans; t=(t%temp+temp)%temp; int s=(n-a*t)/b; cout<<a<<"x+"<<b<<"y="<<n<<"的Xmin整数解为:"<<endl; cout<<"x="<<t<<" "<<"y="<<s<<" "<<endl; } return 0; }
二、求乘法逆元
如果a×b≡1 mod n，则a、b互为乘法逆元（也就是(a*b)%n=1）。
若a与b不互素，则a模b没有乘法逆元！
一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + n*t(n>=0的整数) 吗？
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。
可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
int cal(int a,int n) { int x,y; int gcd(ex_gcd(a, n, x, y)); if(1%gcd!=0) { return -1; } x*=1/gcd; n=abs(n); int ans=x%n; if(ans<=0) ans+=n; return ans; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/kimsimple/p/6681200.html
