标签：lin == 线性 bzoj2301 ref href 怎么办 imp 9.png
。。
省选GG了，我果然还是太菜了。。
突然想讲莫比乌斯反演了
那就讲吧！
首先我们看一个等式——
（d|n表示d是n的约束）
然后呢，转换一下
于是，我们就发现！
没错！F的系数是有规律的！
规律is here！
公式：
这个有什么卵用呢?
假如说有一道题
F(n)可以很simple的求出来而求f(n)就比较difficult了，该怎么办呢？
然后就可以用上面的式子了
是莫比乌斯函数，十分有趣
定义如下：
若d=1，则
=1
若d=p1*p2*p3...*pk,且pi为互异素数，则
=(-1)^k
否则
=0
然后，莫比乌斯函数有一些奇(luan)奇(qi)怪(ba)怪(zao)的性质——
1、
这个嘛。。二项式定理算一下就推出来了
2、
是积性函数。什么是积性函数？即对于所有互质的x,y，f(x)*f(y)=f(x*y)，嗯，积性函数的前缀和也是积性函数。
于是，你就能看到莫比乌斯反演的神奇之处了！
来看一道题
Bzoj2301 Problem b
题意
给你T组a,b,c,d,k求(a<=x<=b,c<=y<=d)有多少组gcd(x,y)=k
T<=50000,a<=b<=50000,c<=d<=50000
设p[x][y]为(1<=a<=x,1<=b<=y)中，gcd(a,b)=1的个数
所以，ans=p[b/k][d/k]-p[b/k][c/k]-p[a/k][d/k]+p[a/k][b/k]（容斥233，可以抽象成一个平面）
然后，设f(i)为(1<=x<=n,1<=y<=m)gcd(x,y)==i的个数
发现——很难求。。但我们可以设F(i)为(1<=x<=n,1<=y<=m)i|gcd(x,y)的个数
这个求起来就非常simple了！
很显然。。
然后，根据莫比乌斯反演的公式——
就可以做了！
哦对了，莫比乌斯函数是可以线性筛出来的，那个叫杜教筛，可以baidu一下
推一下式子——
然后。。暴力枚举k的倍数。。就可以做了。
But！O(n)是GG的！所以我们要加优化！
仔细一看，发现
有
个取值，所以
有
个取值，只要暴力枚举这些取值，维护一下前缀和就好了
最后，顺便%一下PoPoQQQ：https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html
End.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Acheing/p/6786516.html
