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本文来自《啊哈！算法》作者啊哈磊 博客 http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613
上图中有4个城市8条公路，公路上的数字表示这条公路的长短。请注意这些公路是单向的。我们现在需要求任意两个城市之间的最短路程，也就是求任意两个点之间的最短路径。这个问题这也被称为“多源最短路径”问题。
现在回到问题：如何求任意两点之间最短路径呢？通过之前的学习我们知道通过深度或广度优先搜索可以求出两点之间的最短路径。所以进行n2遍深度或广度优先搜索，即对每两个点都进行一次深度或广度优先搜索，便可以求得任意两点之间的最短路径。可是还有没有别的方法呢？
如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，应该如何求呢？只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环，代码实现如下。
for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] ) e[i][j] = e[i][1]+e[1][j]; } }
通过上图我们发现：在只通过1号顶点中转的情况下，3号顶点到2号顶点（e[3][2]）、4号顶点到2号顶点（e[4][2]）以及4号顶点到3号顶点（e[4][3]）的路程都变短了。
接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。如何做呢？我们需要在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。
//经过1号顶点 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) e[i][j]=e[i][1]+e[1][j]; //经过2号顶点 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j]) e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
整个算法过程虽然说起来很麻烦，但是代码实现却非常简单，核心代码只有五行：
for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。其实这是一种“动态规划”的思想，关于这个思想我们将在《啊哈！算法2——伟大思维闪耀时》在做详细的讨论。下面给出这个算法的完整代码：
#include <stdio.h> int main() { int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3; int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值 //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数 scanf("%d %d",&n,&m); //初始化 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(i==j) e[i][j]=0; else e[i][j]=inf; //读入边 for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3); e[t1][t2]=t3; } //Floyd-Warshall算法核心语句 for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] ) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]; //输出最终的结果 for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { printf("%10d",e[i][j]); } printf("\n"); } return 0; }
有一点需要注意的是：如何表示正无穷。我们通常将正无穷定义为99999999，因为这样即使两个正无穷相加，其和仍然不超过int类型的范围（C语言int类型可以存储的最大正整数是2147483647）。在实际应用中最好估计一下最短路径的上限，只需要设置比它大一点既可以。例如有100条边，每条边不超过100的话，只需将正无穷设置为10001即可。如果你认为正无穷和其它值相加得到一个大于正无穷的数是不被允许的话，我们只需在比较的时候加两个判断条件就可以了，请注意下面代码中带有下划线的语句。
//Floyd-Warshall算法核心语句 for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(e[i][k]<inf && e[k][j]<inf && e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
上面代码的输入数据样式为：
4 8 1 2 2 1 3 6 1 4 4 2 3 3 3 1 7 3 4 1 4 1 5 4 3 12
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原文地址：http://www.cnblogs.com/upstart/p/6798224.html
