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最短路之Bellman-Ford算法

时间:2017-07-24 00:21:44      阅读:174      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:有一个   最短路径   dijkstra   root   ext   需要   false   距离   net   

说明:

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。

这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。

适用条件&范围:

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

思想:

  我们规定节点都有一个key值,key值记录的是开始节点到本节点的最小距离,每个节点也都有一个p指针指向他的前驱节点。这里我们规定一个操作叫做松弛操作,我们的算法也是最终基于这个操作的。松弛操作就是去更新key的值。

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        节点B的key值为8,表示从开始节点到B节点之前的最短估计距离是8,而节点A的key值3,是说从开始节点到A节点最短估计是3,当我们发现这个边时,从A到B的距离比较近,所以我们去更新B的key值,同时把B的前驱节点设置成A。这个过程就是松弛操作。

  我们说的Bellman-Ford算法是最简单的算法,就是从开始节点开始循环每一条边,对他进行松弛操作。最后得到的路径就是最短路径。过程如图:

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算法步骤:

1.初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ← +∞, d[s] ←0;
2.迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)
3.检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点
typedef struct Edge //
{
    int u, v;
    int cost;
} Edge;
Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];
bool Bellman_Ford()
{
    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化,起点本身赋值为0,其余赋值为最大
        dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反)
            {
                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
                pre[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
    bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
        if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
    return flag;
}

void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向)
{
    while(root != pre[root]) //前驱
    {
        printf("%d-->", root);
        root = pre[root];
    }
    if(root == pre[root])
        printf("%d\n", root);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);//输入点边起点,一般起点规定为1
    pre[original] = original;//为了输出最短路用的,前驱为本身
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);//有向图
    }
    if(Bellman_Ford())//如果没有负权
        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
        {
            printf("%d\n", dis[i]);
            printf("Path:");
            print_path(i);
        }
    else
        printf("have negative circle\n");
    return 0;
}

 

最短路之Bellman-Ford算法

标签:有一个   最短路径   dijkstra   root   ext   需要   false   距离   net   

原文地址:http://www.cnblogs.com/aiguona/p/7226533.html

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