标签：个数 验证 结构 二进制 存储 部分 erp 闭包 硬件
曾经做一个硬件成本极度控制的项目，因为硬件成本极低，并且还需要实现较高的精度测量，过程中也自己用C语言实现了正弦、余弦、反正切、平方根等函数。
以下，无论是在我的实际项目中还是本地的计算机系统，int都是4个字节且机器为小端，除非特别提及，否则都如此默认。按理float的存储没有大小端之分，可是的确在powerpc大端上浮点数的存储也一样是和X86/ARM这样的小端机相反。不过因为正好因大小端而决定浮点数的存储顺序，那么本系列贴子里所有的C语言程序至少在powerpc大端上也是效果相同的。
尽管在这个项目中我非常想用double来存储小数，但因为这需要翻一倍的存储，从而只好作罢，为了那可怜的存储，我一度甚至想考虑实现3字节的浮点数来，但大致估算了误差（至于如何估算一个公式计算的误差，需要先利用浮点数的结构求自变量的误差，然后要用到数值分析求公式误差，以后有机会开贴单说），实在不靠谱，于是还是用float单精度4字节来存储浮点数。此项目后面围绕着精度、运算时间，从而调整了好几次数据产生、乃至算法的原理，不过这都不是这个系列里要讲的。本系列只讲单精度4字节浮点数的平方根实现。
我们先看浮点数是如何表示实数的，IEEE 754定义了浮点数的结构：
在了解浮点数的存储之前，我们了解一下科学计数法。
我们平常用的进位制为十进制，所有不为0的实数都可以表示为s*a*10n，其中：s取1或-1，称为符号部分；a满足1≤a<10，称为小数部分；n为整数，称为指数部分。
我们的计算机计数一般使用二进制，其道理不用我多说，浮点数也一样用的二进制，用的是二进制下的科学计数法。仿照之前十进制下的科学计数法，即可得二进制下的科学计数。所有不为0的实数，都可以表示为s*a*10n，其中：s取1或-1，称为符号部分；a满足1≤a<2，称为小数部分；n为整数，称为指数部分。32个bit中，最高位1个bits表示符号位s，紧接着的8个bits表示指数位，最后的23个bits表示a。
S(1bits) | N(8bits) | A(23bits)
用大写表示，代表二进制，与科学计数法的s/n/a关系如下：
若S为0，则s取1；若S为1,则s取-1。
n = N（2） - 127，这里N（2）是N的二进制值，
在符号不会混乱的时候，下面就用N来代替N（2）
a = 1 + A（2）*2-23 ，这里是A的二进制值，
在符号不会混乱的时候，下面就用A来代替A（2）
浮点数和定点数一样，也是离散的，4字节浮点数有32个bits，所以最多只能表示232个不同的实数，是对实数的一种近似，但却有很大的范围，可以满足我们很多的需求了。
写一个C语言程序来验证这点:
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
int main(int argc, char **argv)
{
union {
float f;
uint32_t u;
} n;
int i;
scanf("%f", &n.f);
for(i=31;i>=0;i--) {
if(n.u&(1u<<i))
printf("1");
else
printf("0");
if(i==31 || i==23)
printf(" ");
}
printf("\n");
printf("S:%u\n", (n.u&(1u<<31))>>31);
printf("N:%u\n", (n.u&(0xff<<23))>>23);
printf("A:%u\n", n.u&0x7fffff);
return 0;
}
随便找几个数验证一下
$ echo 1 | ./a.out 0 01111111 00000000000000000000000 S:0 N:127 A:0 $ echo -1 | ./a.out 1 01111111 00000000000000000000000 S:1 N:127 A:0 $ echo 2 | ./a.out 0 10000000 00000000000000000000000 S:0 N:128 A:0 $ echo 3 | ./a.out 0 10000000 10000000000000000000000 S:0 N:128 A:4194304 $ echo 3.5 | ./a.out 0 10000000 11000000000000000000000 S:0 N:128 A:6291456 $ echo 3.75 | ./a.out 0 10000000 11100000000000000000000 S:0 N:128 A:7340032 $ echo 0.75 | ./a.out 0 01111110 10000000000000000000000 S:0 N:126 A:4194304 $ echo 0.875 | ./a.out 0 01111110 11000000000000000000000 S:0 N:126 A:6291456
上面的数都是满足的。
可是我们再回头看看，科学计数法其实也是有缺陷的，0其实是无法用科学计数法表示的，可是0使用的场合非常多，所以浮点数必须支持。于是单精度浮点数的2^32种表示中，不是每一种都是科学计数法。
IEEE754规定，单精度浮点数还支持非规格化的数，也就是不是科学计数法的数。
当指数位N为0，也就是N的8个bits全是0的时候，符号位依然是符号位，
表示的数值是s* A*2-149，
之所以后面的指数是149，是因为规格化的数所能表示的最小正数为2-126,
而N为0的时候所表示的最大数为(223-1)*2-149,
两者十分接近,
$ echo ‘scale=60;2^(-126);(2^23-1)*2^(-149);‘ | bc .000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687 .000000000000000000000000000000000000011754942106924410159919
编个C语言程序验证一下
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
int main(int argc, char **argv)
{
union {
float f;
uint32_t u;
} n;
int i;
scanf("%" PRIx32, &n.u);
for(i=31;i>=0;i--) {
if(n.u&(1u<<i))
printf("1");
else
printf("0");
if(i==31 || i==23)
printf(" ");
}
printf("\n");
printf("S:%u\n", (n.u&(1u<<31))>>31);
printf("N:%u\n", (n.u&(0xff<<23))>>23);
printf("A:%u\n", n.u&0x7fffff);
printf("%.60f\n", n.f);
return 0;
}
找几个数验证一下
$ echo 0x00000001 | ./a.out 0 00000000 00000000000000000000001 S:0 N:0 A:1 0.000000000000000000000000000000000000000000001401298464324817 $ echo 0x007fffff | ./a.out 0 00000000 11111111111111111111111 S:0 N:0 A:8388607 0.000000000000000000000000000000000000011754942106924410754870 $ echo 0x80000001 | ./a.out 1 00000000 00000000000000000000001 S:1 N:0 A:1 -0.000000000000000000000000000000000000000000001401298464324817 $ echo 0x807fffff | ./a.out 1 00000000 11111111111111111111111 S:1 N:0 A:8388607 -0.000000000000000000000000000000000000011754942106924410754870 $ echo 0x00000000 | ./a.out 0 00000000 00000000000000000000000 S:0 N:0 A:0 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 $ echo 0x80000000 | ./a.out 1 00000000 00000000000000000000000 S:1 N:0 A:0 -0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
可以看到，有0和-0的区别，浮点数的确就有这么神奇。
另外，IEEE754规定，N等于127，也就是这8个bits全为1的时候也是非规格数，分以下三种情况：
S=0，N=127，A=0时，为正无穷大；
S=1，N=127，A=0时，为负无穷大；
N=127，A≠0是，为NAN(not a number)。
同理，我们还是验证一下：
$ echo 0x7f800000 | ./a.out 0 11111111 00000000000000000000000 S:0 N:255 A:0 inf $ echo 0xff800000 | ./a.out 1 11111111 00000000000000000000000 S:1 N:255 A:0 -inf $ echo 0x7f800001 | ./a.out 0 11111111 00000000000000000000001 S:0 N:255 A:1 nan $ echo 0xff800001 | ./a.out 1 11111111 00000000000000000000001 S:1 N:255 A:1 nan
inf和-inf用于两个实数通过运算产生，因其大小上已经超越浮点数最大可程度以表示的实数，只能用无穷大表示，或者浮点数除0。
而nan则是结果已经不是实数范畴了，比如inf参与了运算，再比如，负数开平方根也会产生nan，这是因为浮点数并不是用于直接表示复数，浮点数并非是要直接模拟一个近似的代数闭包。
标签：个数 验证 结构 二进制 存储 部分 erp 闭包 硬件
原文地址：http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/7203254.html
