Neural Networks for Machine Learning by Geoffrey Hinton （4）

一种能够学习家谱关系的简单神经网络

血缘一共同拥有12种关系：

son, daughter, nephew, niece, father, mother, uncle, aunt, brother, sister, husband, wife

有1个英国家庭以及1个意大利家庭，每一个家庭有12个人。

各种家庭关系都是可用三元数组表示。即( Agent / Relation / Patient ) 结构：

• (colin has-father james)
• (colin has-mother victoria)
• (james has-wife victoria) 能够由上述关系推导得到

该网络由5层结构组成，如图1所看到的

图1

• 网络底层左右两边各有12个神经元。

• 第1层左側神经元输入 Agent 向量，每次仅仅有一个为1，如000100000000。
• 第1层右側神经元输入 Relation 向量。每次也仅仅有一个为1。
• 第2层左側神经元用来序列化 Agent 向量，右側神经元用来序列化 Relation 向量。

• 第3层用以学习 Agent 与 Relation 的关系，预測出 Patient。
• 第4层解析出 Patient 向量。
• 第5层是预測出的实际 Patient。其每次的激活值可能不仅仅一个。
  

  比如：Andrew has-aunt ? 可能相应多个 aunt。

网络学到了什么？

以序列化输入 Agent 的 6 个神经元为例。如图2.
- 1号神经元对不同国籍的输入非常敏感。能够进行区分。
- 2号神经元对每次输入 Agent 所属的辈分（Generation）非常敏感。
- 6号神经元对每次输入 Agent 所属的家庭非常敏感。

图2

关于 概念（Concepts） 的两种理论

• 特征理论（The Feature Theory）
  

  概念是语义特征的集合。
  A concept is a set of semantic features.

• 结构主义理论（The Structuralist Theory）
  

  概念的意义存在于概念与概念之间的关系。
  The meaning of a concept lies in its relationships to other concepts.

神经网络能够使用语义特征来实现关系图模型。

Softmax 输出函数

均方误差有下面缺陷

• 假设目标是1而如今的实际输出是0.00000001。那么返回给神经元的梯度差点儿为0.
• 强制指定所属各类概率就会剥夺网络的学习能力。
  Softmax作为逻辑回归的推广，能够非常好解决这些问题。

构造公式

$${y_i} = \frac{{{e^{{z_i}}}}}{{\sum\limits_{j \in group} {{e^{{z_i}}}} }}$$

梯度公式

$$\frac{{\partial {y_i}}}{{\partial {z_i}}} = {y_i}\left( {1 - {y_i}} \right)$$

代价函数依旧使用相互熵

dC / dy 的陡峭正好抵消了 dy / dz 的平坦。

相互熵

$$C = - \sum\limits_j {{t_j}\log {y_j}}$$

梯度

$$\frac{{\partial C}}{{\partial {z_i}}} = \sum\limits_j {\frac{{\partial C}}{{\partial {y_j}}}\frac{{\partial {y_j}}}{{\partial {z_i}}}} = {y_i} - {t_i}$$

Theano相应函数

x,y,b = T.dvectors(‘x‘,‘y‘,‘b‘)
W = T.dmatrix(‘W‘)
y = T.nnet.softmax(T.dot(W,x) + b)