Andrew Ng Machine Learning 专题【Linear Regression】

此文是斯坦福大学，机器学习界 superstar — Andrew Ng 所开设的 Coursera 课程：Machine Learning 的课程笔记。

力求简洁，仅代表本人观点，不足之处希望大家探讨。
课程网址：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome

Week 3: Logistic Regression & Regularization 笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/47398843

Week 2：Linear Regression with Multiple Variables

1. Multivariate Linear Regression
   
   1. Week 1 讨论仅一个特征，即仅有一个未知量$x$影响了目标$y$的取值。

      假设如今有非常多特征？如今我们有$x_{1},x_{2}...x_{n}$影响了目标$y$的取值。

   2. 此时须要区分的是变量标记规则：
      
      • $x_{i}$表示的是第$i$个特征
      • $x^{(i)}$表示的是第$i$个样本，一个样本是由多个特征组成的列向量
      • 比如：$x^{(2)}=[x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(2)}, x_{3}^{(2)}, ..., x_{n}^{(2)}]^{T}$
      • 综上，我们有$h_{\theta}(x)={\theta_0} + {\theta_1}*x_{1} + {\theta_2}*x_{2} +...+ {\theta_n}*x_{n}$。能够视为。每一个样本都多出一个特征：$x_{0} = 1$，这样表示有利于之后的矩阵表示

2. 多变量梯度下降法：

   样本一共同拥有m个
   cost function：$J({\theta _0},{\theta _1}) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i = 1}^m {{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}^2}}$
   update：${\theta _j}: = {\theta _j} - \alpha \frac{1}{{m}}\sum\limits_{i = 1}^m ({{{({h_\theta }({x^{(i)}}) - {y^{(i)}})}}}*x_j^{(i)})$

3. Feature Scaling（特征缩放）

   • 非常easy。就是将每种特征的数据范围限定在同一个数量级。比如$x_{1}\in[0,2000],x_{2}\in[1,5]$，这样会导致迭代次数过多。这时候，假设我们找到一种mapping方式，使得两者属于同一个数量级的范围内，能够有效减少迭代次数
   • 注意：无法减少单次的迭代时间。可是却能有效地减少迭代次数
   • 事实上方法非常多，这有一种：$x=\frac{x-mean(x)}{max(x)-min(x)}$。当中，$mean(x)$表示向量每一个元素的平均值。$max(x)$表示向量中最大元素，$min(x)$表示向量中最小元素
4. Learning Rate
   
   • learning rate 是机器学习中的一个不稳定因素，怎样推断选取的 learning rate 是合适的？我们能够看看下面这幅图：
     
   • 假设以迭代次数为横坐标，cost function 结果为纵坐标。绘制的图像是递减的，说明 learning rate 选择的是恰当的。假设碰到下图所显示的三种情况。那就仅仅有一条路：减小 learning rate
     
   • 可是 learning rate 太小相同会导致一个问题：学习过慢。所以，仅仅能靠试：0.001。0.003，0.01，0.03，0.1，0.3……
5. Polynomial Regression（多项式回归。不同于多变量线性回归）
   
   • 有时候。我们须要自己创造一些“特征”，来拟合一些非线性分布情况
   • 比如：$h_{\theta}(x)={\theta_0} + {\theta_1}*x^2 + {\theta_2}*\sqrt{x}$，看上去仅仅有一个特征$x$，但我们全然能够理解为$x^2$和$\sqrt{x}$都是单独的新特征
   • 以后的课程会详细讲述怎样选择这些特征
6. Normal Equation
   
   • 梯度下降法能够用于寻找函数（cost function）的最小值。想一想，初高中的时候我们使用的是什么方法？最小值点的导数为零，然后解方程
   • 将导数置为零这样的方法即 Normal Equation。if $\theta\in\mathbf{R}^{n+1}。\frac{\partial }{{\partial {\theta _i}}}J({\theta})\overset{\text{set}}{=}0\quad$for every $i$.
   • 上文提过，添加一个全1分量$x_{0}$后得到$x=[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}]^{T}$
   • 能够得到：$x\theta = y \Rrightarrow x^{T}x\theta = x^{T}y \Rrightarrow \theta = (x^{T}x)^{-1}x^{T}y$
   • matlab编程十分简单：$theta = pinv(X‘* X) * X‘ * y;$
   • Normal Equation 有下面优缺点：
     
     1. 不须要 learning rate，也就不须要选择。
     2. 不须要迭代，不须要考虑收敛的问题；
     3. 当特征非常多的时候。由于涉及求逆操作，会非常慢（注：方阵才有逆矩阵）
7. Octave Tutorial
   这一部分十分简单。事实上就是MATLAB的用法。建议不论是否刚開始学习的人都去看看，会有收获。

   
   谈到一个问题：假设现有的样本数，小于每一个样本全部的特征数怎么办？去除多余的特征（PCA？）。特征过多，也可能会导致矩阵不可逆的情况（不甚理解）。
   下面记录一些认为挺有趣的命令：
   

   1. ~=：不等于号
   2. xor(0, 1)：异或操作
   3. rand(m, n)：0~1之间的大小为m*n的随机数矩阵；randn：产生均值为0，方差为1的符合正态分布的随机数（有负数）
   4. length(A)：返回A中行、列中更大值
   5. A(:)：将矩阵A变为列向量形式。不论A是向量还是矩阵
   6. sum(A,1)：每列求和得到一个行向量；sum(A,2)：每行求和得到一个列向量
   7. pinv：伪求逆；inv：求逆
   8. imagesc(A)：帅爆！依据矩阵中每一个值绘制各种颜色的方块
   9. A.^2 ~= A^2，后者是两个矩阵相乘
8. Submitting Programming Assignments
   事实上看看视频即可了。主要要注意，submit() 时输入的Token，不是Coursera 的password，而是作业的password，在这里：
   
   编程作业答案：https://github.com/cnauroth/machine-learning-class