声明：

         1。本篇为个人对《2012.李航.统计学习方法.pdf》的学习总结，不得用作商用。欢迎转载，但请注明出处（即：本帖地址）。

         2，因为本人在学习初始时有非常多数学知识都已忘记，因此为了弄懂当中的内容查阅了非常多资料，所以里面应该会有引用其它帖子的小部分内容。假设原作者看到能够私信我，我会将您的帖子的地址付到以下。

         3。假设有内容错误或不准确欢迎大家指正。

         4。假设能帮到你，那真是太好了。

简单介绍

         决策树是一种主要的分类和回归方法。这里总结的是其分类方法部分。

         决策树是一种对实例进行分类的树状结构，eg：

                                                        属于类1否？

                                                          /       \

                                                        /           \

                                                属于且          不属于

                                         无法再分类       且能够继续分类

                                                                那属于类2否？

                                                                     /    \

                                                                   /        \

                                                          属于且        不属于且

                                                   无法再分类     无法再分类

特征选择

         经过上面的介绍可知：决策树就是用某个特征将样本集合进行分类。那么怎样选择特征就非常重要了。由于每一次分类我们都要选取个能将样本集合分类的最好特征。

         以下就介绍选取最优特征的方法。即：ID3算法和C4.5算法。

熵、条件熵、信息增益、信息增益比

         就好像我们用皮肤的颜色来区分黄种人、白种人和黑种人一样，ID3和C4.5也须要一个统一的标准来对样本集合进行区分，而这个标准就是：熵、条件熵、信息增益和信息增益比。

         我们如果X为一个取有限个值的离散随机变量。且其概率分布为：

                   P(X=x_i) = P_i       I =1, 2, …, n

                   即：p_i= 某个类的数量x_i / 样本集合总数

         于是熵、条件熵、信息增益和信息增益比的定义分别例如以下：

         熵：

                   Ps1：在上式中。若P_i= 0，则定义0log0 = 0.

                   Ps2：通常上式中的对数以2或e为底。这是熵的单位各自是比特(bit)和纳特(nat)。

                   由定义可知，熵仅仅依赖于X中类的分布，与X即样本总数无关，所以也可将H(X)记作H(P)，即

                   熵越大，随机变量的不确定性就越大。从定义可验证：0 <= H(P) <= log n

                   若随机变量仅取两个值0和1。那X的分布为：

                            P(X=1) = P；     P(X=0) = 1 - P；        0 <= P <= 1

                   那么熵为：

                            H(P)= -Plog₂P + ( -(1-p)log₂(1-P) )

         条件熵：

                   条件熵就是在随机变量X已确定的条件下，随机变量Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：

                   上述的X代表样本集合总数。Y代表特征

                   于是：

                        P_j即“既属于熵中那个类x_i又属于条件熵中这个类的元素的数量 / 属于熵中那个类x_i的元素的数量”

         信息增益：

                   g(X,Y) = H(X) – H(X|Y)

         信息增益比：

                   g_R(X,Y) = g(X, Y) / H(X)

         PS：“经验熵”和“经验条件熵”就是由数据预计(特别是极大似然预计)得到的“熵”和“条件熵”的概率。

         在掌握了这些后就能够開始算法了。

         决策树学习经常使用的算法有ID3，C4.5和CART。

                   PS：由于ID3和C4.5仅仅有树的生成，所以它们生成的树easy产生过拟合。

         首先是ID3。

ID3算法

         描写叙述：

                   输入：

                            训练数据集D。特征集A，阈值ε。

                   输出：

                            决策树T。

                   过程：

                            1，若当前可用的D中的全部实例仅有一个类C，则将类C作为当前T的当前结点，返回T；

                            2，若A=Ф(即：没有可用特征。如：一開始就没有特征给你用或经过一定次数的分类后，特征已用过一遍)，则将D中实例数最大的那个类作为T的当前结点。返回T。

                            3，若A≠Ф，则计算各特征的信息增益。选择信息增益最大的特征A_g；

            4，若A_g的信息增益小于阈值ε，则用当前D中实例数最大的类作为该节点的类标记。返回T。

            5，否则，依据A_g中每个值a_i将当前的D切割成若干个非空子集D_i。将D_i中实例数最大的类作为标记，构建子结点。由节点集子结点构成T，返回T；

            6。对第i个子结点，以D_i为训练集，以a_i为特征集，递归的调用1~5步。得到子树T_i。返回T_i。

    样例：

                  对例如以下数据建立决策树：

                                               （贷款申请样本数据表）

                   解：

                            1，计算熵：

                                     由于该表的数据被分为两类：给予贷款，不给予贷款。

                                     所以：

                            2。计算全部的条件熵：

                                     我们用A1代表年龄。D1, D2,D3 代表中、青、老年。

                                     由于中青老年各五人。所以：

                                     而对于每一个年龄段都有：“能够贷款的青中老年”和“不可贷款的青中老年”。

                                     所以。对于青年：

                                     于是中年和老年同理，最后得：

                                               H(T|A1)

                                     同理。对于是否有工作（A2），是否有房子（A3），信贷情况（A4）：

                                               H(T|A2)= 0.647

                                               H(T|A3)= 0.551

                                               H(T|A4)= 0.608

                            3，计算信息增益

                                     g(T,A1)= H(T) – H(T|A1) = 0.971 – 0.888 = 0.083

                                     g(T,A2)= H(T) – H(T|A2) = 0.324

                                     g(T,A3)= H(T) – H(T|A3) = 0.420

                                     g(T,A4)= H(T) – H(T|A4) = 0.363

                            4，由于g(T,A3) 最大，所以选择“是否有房子”作为根节点的特征。于是这将数据集分成了两部分：T1（有房）和T2（无房）

                                     因为T1的全可贷款（全部的元素都属于一类），所以它成为一个叶子节点。

                                     而T2中既有能贷到款的也有贷不到的（全部的元素不属于一类），所以对于T2须要从特征A1（年龄）。A2（有无工作），A4（信贷情况）中选出一个新特征。

                                     到此形成例如以下决策树：

                                                                   A3：有房子吗

                                                                               /   \

                                                           T1：有房子       T2：无房子

                                                           全能贷到款   有的能贷到，有的不能

                            5，对T2这个数据集再次调用1~3步，计算信息增益(注意：需用当前的数据集T2又一次计算)，得：

                                     g(T2,A1) = H(T2) – H(T2|A1) = 0.251

                                     g(T2,A2) = H(T2) – H(T2|A2) = 0.918

                                     g(T2,A4) = H(T2) – H(T2|A4) = 0.474

                                     于是选择A2（有无工作）来作为当前特征。

                                     到此形成例如以下决策树：

                                                                   A3：有房子吗

                                                                          /        \

                                                           T1：有房子       T2：无房子。有工作吗？

                                                           全能贷到款          /            \

                                                                               有工作         无工作

                                                                        全能贷到款     全都贷不到

                                     由于到此。全部的子结点的元素全都仅仅属于一个类，所以到此以全然划分。

                                     终于决策树如上。

C4.5算法

         C4.5算法就是将ID3第三步的信息增益换成信息增益比。其它不变。

#-*-coding:utf-8-*-
# LANG=en_US.UTF-8
# ID3 和 ID4 算法
# 文件名称：ID3_ID4.py
#

import sys
import math
import copy

dict_all = {
        # 1: 青年；2：中年；3：老年
        '_age' : [
                1, 1, 1, 1, 1,
                2, 2, 2, 2, 2,
                3, 3, 3, 3, 3,
            ],

        # 0：无工作；1：有工作
        '_work' : [
                0, 0, 1, 1, 0,
                0, 0, 1, 0, 0,
                0, 0, 1, 1, 0,
            ],

        # 0：无房子；1：有房子
        '_house' : [
                0, 0, 0, 1, 0,
                0, 0, 1, 1, 1,
                1, 1, 0, 0, 0,
            ],

        # 1：信贷情况一般；2：好；3：很好
        '_credit' : [
                1, 2, 2, 1, 1,
                1, 2, 2, 3, 3,
                3, 2, 2, 3, 1,
            ],
    }

# 0：未申请到贷款；1：申请到贷款
_type = [
        0, 0, 1, 1, 0,
        0, 0, 1, 1, 1,
        1, 1, 1, 1, 0,
    ]

# 二叉树结点
class BinaryTreeNode( object ):
    def __init__( self, name=None, data=None, left=None, right=None, father=None ):
        self.name = name
        self.data = data
        self.left = left
        self.right = left

# 二叉树遍历
class BTree(object):
    def __init__(self,root=0):
        self.root = root

    # 中序遍历
    def inOrder(self,treenode):
        if treenode is None:
            return

        self.inOrder(treenode.left)
        print treenode.name, treenode.data
        self.inOrder(treenode.right)


# 遍历类型，统计每一个类型的数量，将其保存到字典中
# 如：对于 _type: 有9个类型1。6个类型0。

# 于是返回：{'1': 9.0, '0': 6.0}
# 參数：类型列表
def get_type_num( type_list ):
    type_dict = {}
    tmp_item = ''

    for item in type_list:
        item = str(item)
        if tmp_item != item:
            if item in type_dict.keys():
                type_dict[item] += 1.0
            else:
                type_dict[item] = 1.0
                tmp_item = item
        else:
            type_dict[item] += 1.0

    return type_dict


# 获得熵
# 參数：类型列表
def get_entropy( type_list ):
    entropy = 0.0
    len_type = len(type_list)
    type_dict = get_type_num( type_list )
    # 计算熵
    for key in type_dict.keys():
        tmp_num = type_dict[key] / len_type
        entropy = entropy - tmp_num * math.log(tmp_num, 2)

    return float('%.3f' % entropy)


# 获得条件熵
# 參数：特征列表，类型列表，序号列表
# 如：
#   第一轮时以 _house 为特征进行筛选(筛选使用ID3或ID4。不是在此函数中)，这是參数分别为：_house, _type, [0, 1, ..., 15]
#   第一轮结束后：左子树的特征序号列表为：[3, 7, 8, 9, 10, 11]，右子树的特征序号列表为：[0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14]
#   于是第二轮在对右子树以 _work 为特征进行筛选时传入參数：_house, _type, [0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14]
def get_conditional_entropy( value_list, type_list, num_list ):
    # 整理 value_list 以 num_list 为序号形成的新列表中的不同类别
    # value_dict = {特征名 : 包括的类别列表}
    # eg：对于 _work
    #   其“原始内容”和“以 num_list(即：[0, 1, 2, 4, 5, 6, 12, 13, 14]) 为序号形成的新列表为”分别例如以下：
    #   [0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0]
    #   [0, 0, 1,    0, 0, 0,                1, 1, 0]
    #   新列表有3个类型1和6个类型2。于是该函数返回：{'1': [1, 1, 1], '0': [0, 0, 0, 0, 0, 0]}
    def get_value_type():
        value_dict = {}
        tmp_type = ''
        tmp_item = ''

        for num in num_list:
            item = str( value_list[num] )
            if tmp_item != item:
                if item in value_dict.keys():
                    value_dict[item].append(type_list[num])
                else:
                    value_dict[item] = [type_list[num],]
                    tmp_item = item
            else:
                value_dict[item].append(type_list[num])

        return value_dict

    value_dict = get_value_type()
    conditional_entropy = 0
    for key in value_dict.keys():
        tmp_num = float( '%.3f' % (float(len(value_dict[key]))/len(value_list)) )
        conditional_entropy += float( '%.3f' % (tmp_num * get_entropy(value_dict[key])) )
    
    return conditional_entropy

# 获得信息增益
def get_information_gain( value_list, type_list, num_list ):
    return float( '%.3f' % (get_entropy( type_list ) - get_conditional_entropy( value_list, type_list, num_list )) )


# 获得信息增益比
def get_information_gain_ratio( value_list, type_list, num_list ):
    entropy = get_entropy( type_list )
    information_gain = entropy - get_conditional_entropy( value_list, type_list, num_list )
    return float( '%0.3f' % (information_gain/entropy) )


# ID3 算法
def ID3( data, type_list, threshold ):
    # 获得最大的信息增益
    def get_max_information_gain( num_list ):
        step = 'continue'
        tmp_value = 0.0
        feature_name = ''

        for key in data.keys():
            information_gain = get_information_gain( data[key], type_list, num_list )
            if information_gain > tmp_value:
                feature_name = key
            tmp_value = information_gain

        # 假设信息增益小于阈值，则告诉后面的程序。不用在迭代了，到此就可以
        if information_gain < threshold:
            step = 'over'

        return feature_name, step

    # 进行分类
    def classify( root, note_name, note_data, note_type ):
        # 将'特征可能值名字'追加到 root.name 中
        # 将[样本序号的列表]合并到 root.data 中
        root.name.append( note_name )
        root.data.extend( note_data )

        # note_type=='exit' 意味着当前的数据所有属于某一类。不用在分类了
        if not data or note_type=='exit':
            return

        feature_name, step = get_max_information_gain( note_data )

        # 依据特征的可能值将样本数据分成数个集合。并保存成“特征字典”。
        # 字典结构为：{ '特征可能值名字': [样本序号的列表] }
        feature_dict = {}
        tmp_item = ''
        for num in note_data:
            item = str( data[feature_name][num] )
            if tmp_item != item:
                if item in feature_dict.keys():
                    feature_dict[item].append(num)
                else:
                    feature_dict[item] = [num, ]
                    tmp_item = item
            else:
                feature_dict[item].append(num)

        # 从样本集合中将该特征删除
        del data[feature_name]

        # 准备左子节点和右子节点。节点的 name 和 data 是个空列表
        root.left = BinaryTreeNode( [], [] )
        root.right = BinaryTreeNode( [], [] )

        # 计算“特征字典”中各个集合中是属于“能贷贷款”的多还是“不能贷贷款”的多
        # 假设是前者：
        #   递归调用 classify，形成左子节点
        # 假设是后者：
        #   递归调用 classify。形成右子节点
        for key in feature_dict.keys():
            num_yes = 0; num_no = 0
            for num in feature_dict[key]:
                if type_list[num] == 1:
                    num_yes = num_yes + 1
                elif type_list[num] == 0:
                    num_no = num_no + 1
                else:
                    print 'ERROR: wrong type in _type'
                    exit()

            note_type = 'not_exit'
            if num_yes == 0 or num_no == 0 or step == 'over':
                note_type = 'exit'
            
            if num_yes >= num_no:
                classify( root.left, '%s:%s' % (feature_name, key), feature_dict[key], note_type )
            else:
                classify( root.right, '%s:%s' % (feature_name, key), feature_dict[key], note_type )
        
        return root


    tmp_list = []
    for num in xrange( len(dict_all[dict_all.keys()[0]]) ):
        tmp_list.append( num )
    return classify( BinaryTreeNode( [], [] ), 'root', tmp_list, 'not_exit' )


# C4.5 算法
def C4_5( data, type_list, threshold ):
    # 获得最大的信息增益比
    def get_max_information_gain( num_list ):
        step = 'continue'
        tmp_value = 0.0
        feature_name = ''

        for key in data.keys():
            information_gain_ratio = get_information_gain_ratio( data[key], type_list, num_list )
            if information_gain_ratio > tmp_value:
                feature_name = key
            tmp_value = information_gain_ratio

        # 假设信息增益比小于阈值。则告诉后面的程序，不用在迭代了，到此就可以
        if information_gain_ratio < threshold:
            step = 'over'

        return feature_name, step

    # 进行分类
    def classify( root, note_name, note_data, note_type ):
        # 将'特征可能值名字'追加到 root.name 中
        # 将[样本序号的列表]合并到 root.data 中
        root.name.append( note_name )
        root.data.extend( note_data )

        # note_type=='exit' 意味着当前的数据所有属于某一类。不用在分类了
        if not data or note_type=='exit':
            return

        feature_name, step = get_max_information_gain( note_data )

        # 依据特征的可能值将样本数据分成数个集合，并保存成“特征字典”。
        # 字典结构为：{ '特征可能值名字': [样本序号的列表] }
        feature_dict = {}
        tmp_item = ''
        for num in note_data:
            item = str( data[feature_name][num] )
            if tmp_item != item:
                if item in feature_dict.keys():
                    feature_dict[item].append(num)
                else:
                    feature_dict[item] = [num, ]
                    tmp_item = item
            else:
                feature_dict[item].append(num)

        # 从样本集合中将该特征删除
        del data[feature_name]

        # 准备左子节点和右子节点。节点的 name 和 data 是个空列表
        root.left = BinaryTreeNode( [], [] )
        root.right = BinaryTreeNode( [], [] )

        # 计算“特征字典”中各个集合中是属于“能贷贷款”的多还是“不能贷贷款”的多
        # 假设是前者：
        #   递归调用 classify，形成左子节点
        # 假设是后者：
        #   递归调用 classify，形成右子节点
        for key in feature_dict.keys():
            num_yes = 0; num_no = 0
            for num in feature_dict[key]:
                if type_list[num] == 1:
                    num_yes = num_yes + 1
                elif type_list[num] == 0:
                    num_no = num_no + 1
                else:
                    print 'ERROR: wrong type in _type'
                    exit()

            note_type = 'not_exit'
            if num_yes == 0 or num_no == 0 or step == 'over':
                note_type = 'exit'
            
            if num_yes >= num_no:
                classify( root.left, '%s:%s' % (feature_name, key), feature_dict[key], note_type )
            else:
                classify( root.right, '%s:%s' % (feature_name, key), feature_dict[key], note_type )
        
        return root


    tmp_list = []
    for num in xrange( len(dict_all[dict_all.keys()[0]]) ):
        tmp_list.append( num )
    return classify( BinaryTreeNode( [], [] ), 'root', tmp_list, 'not_exit' )


# 阈值
threshold = 0.3
dict_all_id3 = copy.deepcopy( dict_all )
root = ID3( dict_all_id3, _type, threshold )
bt = BTree( root )
print '--------------ID3----------------'
bt.inOrder( bt.root )
print '---------------------------------\n'

dict_all_c45 = copy.deepcopy( dict_all )
root = C4_5( dict_all_c45, _type, threshold )
bt = BTree( root )
print '--------------C4.5----------------'
bt.inOrder( bt.root )
print '----------------------------------\n'