扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y){
    if(!b) {x=1; y=0;}
    else{
        long long x0,y0;
        exgcd(b,a%b,x0,y0);
        x=y0;
        y=x0-(a/b)*y0;
    }
}
int gcd(long long a,long long b){
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
int main(){
    long long a,b,k=0,x,y;
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,x,y);
    while(x<=0){
        x+=k*b/gcd(a,b);
        k++;
    }
    cout<<x;
}