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一、纲要
线性回归的正规方程解法
局部加权线性回归
二、内容详述
1、线性回归的正规方程解法
线性回归是对连续型的数据进行预测。这里讨论的是线性回归的例子，对于非线性回归先不做讨论。这部分内容我们用的是正规方程的解法，理论内容在之前已经解释过了，正规方程为θ = (XT·X)-1·XT·y。值得注意的是这里需要对XT·X求逆矩阵，因此这个方程只有在逆矩阵存在的时候才适用，所以需要在代码中进行判断。
from numpy import * import matplotlib.pyplot as plt def loaddataSet(filename): numfeat = len(open(filename).readline().split(‘\t‘))-1 dataMat = [];labelsVec = [] file = open(filename) for line in file.readlines(): lineArr = [] curLine = line.strip().split(‘\t‘) for i in range(numfeat): lineArr.append(float(curLine[i])) dataMat.append(lineArr) labelsVec.append(float(curLine[-1])) return dataMat,labelsVec def standRegression(xArr,yArr): xMat = mat(xArr);yMat = mat(yArr) xTx = xMat.T * xMat if linalg.det(xTx)==0.0: print(‘this matrix is singular,cannot do inverse\n‘) return sigma = xTx.I * (xMat.T * yMat.T) return sigma
loaddataSet()函数是将文本数据分成特征集和标签。standRegression()是利用正规方程求回归系数sigma，当然在使用正规方程前需要判断其是否有逆矩阵。这种解法很简单，但是它的缺点我也在之前的理论部分说过了。下面我们来看拟合的结果，利用PlotLine()函数来画图。注意这个函数的传入参数xMay和yMat需要为矩阵形式
def PlotLine(xMat,yMat,sigma): ax = plt.subplot(111) ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0]) xCopy = xMat.copy() xCopy.sort(0) yHat = xCopy*sigma ax.plot(xCopy[:,1],yHat) plt.show()
我们得到的拟合直线如图所示，这看起来有点欠拟合的状态。如果用另外一个数据集，得到的拟合直线也是这样的，这也是我们不希望的结果
所以，我们后面对该方法进行改进，对回归系数进行局部加权处理。这里的方法叫做局部加权线性回归（LWLR）
2、局部加权线性回归
该算法中，我们给待预测点附近的每个店赋予一定的权重，然后在其上基于最小均方差进行普通的线性回归。其正规方程变为 θ=(XTX)-1XTWy。这里的W为权重。LWLR使用“核”来对附近的点赋予更高的权重，最常用的就是高斯核，其权重为
。这样就构建了只含对角元素的权重矩阵，并且点x与x(i)越近，权重越大。
def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k = 1.0): xMat = mat(xArr);yMat = mat(yArr).T m = shape(xMat)[0] weights = mat(eye(m)) for i in range(m): diffMat = testPoint - xMat[i,:] weights[i,i] = exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0*k**2)) xTWx = xMat.T * (weights*xMat) if linalg.det(xTWx)==0.0: print(‘this matrix is singular,cannot do inverse\n‘) return sigma = xTWx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) return testPoint * sigma def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k = 1.0): m = shape(testArr)[0] yHat = zeros(m) for i in range(m): yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k) return yHat
lwlr()函数即为局部加权线性回归法的代码，lwlrTest()函数的作用是使lwlr()函数遍历整个数据集。我们同样需要画出图来看拟合结果
def PlotLine1(testArr,xArr,yArr,k = 1.0): xMat = mat(xArr) yMat = mat(yArr) yHat = lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k) srtInd = xMat[:,1].argsort(0) xsort = xMat[srtInd][:,0,:] ax = plt.subplot(111) ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0],s = 2,c = ‘red‘) ax.plot(xsort[:,1],yHat[srtInd]) plt.show()
当 k=1.0 k=0.01 k=0.003
k=1.0就是前面的欠拟合状态，而k=0.003就是过拟合状态了，所以当k=0.01时才是比较好的回归。
数据集和代码下载地址：http://pan.baidu.com/s/1i5AayXn
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原文地址：http://www.cnblogs.com/kl2blog/p/7783085.html
