Tarjan算法：求解图的割点与桥（割边）

时间：2017-12-04 00:51:40 阅读：315 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

标签：红色例子深度优先分支 pad 影响 otto tarjan order

简介：

割边和割点的定义仅限于无向图中。我们可以通过定义以蛮力方式求解出无向图的所有割点和割边,但这样的求解方式效率低。Tarjan提出了一种快速求解的方式，通过一次DFS就求解出图中所有的割点和割边。

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1. 割点与桥（割边）的定义

在无向图中才有割边和割点的定义

割点：无向连通图中，去掉一个顶点及和它相邻的所有边，图中的连通分量数增加，则该顶点称为割点。

桥（割边）：无向联通图中，去掉一条边，图中的连通分量数增加，则这条边，称为桥或者割边。

割点与桥（割边）的关系：

1）有割点不一定有桥,有桥一定存在割点

2）桥一定是割点依附的边。

下图中顶点C为割点，但和C相连的边都不是桥。

2. 暴力解决办法解决求解割点集和割边集

暴力法的原理就是通过定义求解割点和割边。在图中去掉某个顶点，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该顶点就是割点。如果在图中去掉某条边，然后进行DFS遍历，如果连通分量增加，那么该边就是割边。对每个顶点或者每个边进行一次上述操作，就可以求出这个图的所有割点和割边，我们称之为这个图的割点集和割边集。

在具体的代码实现中，并不需要真正删除该顶点和删除依附于该顶点所有边。对于割点，我们只需要在DFS前，将该顶点对应是否已访问的标记置为ture，然后从其它顶点为根进行DFS即可。对于割边，我们只需要禁止从这条边进行DFS后，如果联通分量增加了，那么这条边就是割边。

3. Tarjan算法的原理

判断一个顶点是不是割点除了从定义，还可以从DFS（深度优先遍历）的角度出发。我们先通过DFS定义两个概念。

假设DFS中我们从顶点U访问到了顶点V（此时顶点V还未被访问过），那么我们称顶点U为顶点V的父顶点，V为U的孩子顶点。在顶点U之前被访问过的顶点，我们就称之为U的祖先顶点。

显然如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点，那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性，U就不是割点。相反，如果顶点U至少存在一个孩子顶点，必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点，那么去掉顶点U后，顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了，说明U是一个割点。

上图中的箭头表示DFS访问的顺序（而不表示有向图），对于顶点D而言，D的孩子顶点可以通过连通区域1红色的边回到D的祖先顶点C（此时C已被访问过），所以此时D不是割点。

上图中的连通区域2中的顶点，必须通过D才能访问到D的祖先顶点，所以说此时D为割点。再次强调一遍，箭头仅仅表示DFS的访问顺序，而不是表示该图是有向图。

这里我们还需要考虑一个特殊情况，就是DFS的根顶点（一般情况下是编号为0的顶点），因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断，如果从根顶点出发，一次DFS就能访问到所有的顶点，那么根顶点就不是割点。反之，如果回溯到根顶点后，还有未访问过的顶点，需要在邻接顶点上再次进行DFS，根顶点就是割点。

4. Tarjan算法的实现细节

在具体实现Tarjan算法上，我们需要在DFS（深度优先遍历）中，额外定义三个数组dfn[]，low[]，parent[]

1）dfn数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示该顶点在DFS中的遍历顺序(或者说时间戳)，每访问到一个未访问过的顶点，访问顺序的值（时间戳）就增加1。子顶点的dfn值一定比父顶点的dfn值大（但不一定恰好大1，比如父顶点有两个及两个以上分支的情况）。在访问一个顶点后，它的dfn的值就确定下来了，不会再改变。

2） low数组的下标表示顶点的编号，数组中的值表示DFS中该顶点不通过父顶点能访问到的祖先顶点中最小的顺序值（或者说时间戳）。

每个顶点初始的low值和dfn值应该一样，在DFS中，我们根据情况不断更新low的值。

假设由顶点U访问到顶点V。当从顶点V回溯到顶点U时，

如果

dfn[v] < low[u]

那么

low[u] = dfn[v]

如果顶点U还有它分支，每个分支回溯时都进行上述操作，那么顶点low[u]就表示了不通过顶点U的父节点所能访问到的最早祖先节点。

现在我们来看一个例子，模仿程序计算各个顶点的dfn值和low值。下图中蓝色实线箭头表示已访问过的路径，无箭头虚线表示未访问路径。已访问过的顶点用黄色标记，未访问的顶点用白色标记，DFS当前正在处理的顶点用绿色表示。带箭头的蓝色虚线表示DFS回溯时的返回路径。