标签：adk 返回 rgs ati 构造 处理 增加 str 查询
树状数组（Binary Indexed Tree(BIT),Fenwick Tree）是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于快速查询任意两位之间的所有元素之和，是一种很实用的数据结构。它通过用节点i，记录数组下标在[ i –2^k + 1, i ]这段区间的所有数的信息（其中，k为i的二进制表示中末尾0的个数，设lowbit(i) = 2^k），实现在O(log n) 时间内对数组数据的查找和更新。
例一：
一个学校有n个班级,起初每个班级都没有学生,学校的招生办遇到了一个棘手的问题,他们必须随时了解前n个班级的总人数（任务一），并且随时会增加若干人到某一个班级（任务二）。我们可以很容易的想到一个简单的算法，开一个长度为n的一位数组记录每个班的人数，这样完成任务二的时间复杂度是 O（1），但是完成任务一的时间复杂度是O（n）所以速度较慢。
我们也可以用A[i]记录前i个班级的总人数，这样完成任务一的时间复杂度是O（1）但是完成任务二的时间复杂度是O（n）。以上两种方法在n很大的情况下速度都比较慢。所以我们必须引入新的数据结构——数状数组。
我们同样以例一为例，定义数组A，其中A[i]表示第i个班级的人数。再定义一个数组C[i]其中C[i]=A[i-2^k+1]+……+A[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。由C数组的定义可以得出
C[1]=A[1]
C[2]=A[1]+A[2]=C[1]+A[2]
C[3]=A[3]
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]=C[2]+C[3]+A[4]
C[5]=A[5]
C[6]=A[5]+A[6]=C[5]+A[6]
C[7]=A[7]
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]=C[4]+C[6]+C[7]+A[8]
………………
直观地表示如下图：
1. 数组生成
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数，即2^k表示x的二进制最后一位1代表的数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为A[x]，所以很明显：C[n] = A[n – 2^k + 1] + ... + A[n]，算这个2^k的值有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：
利用机器补码特性：
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
例：计算C[6]
6的二进制表示为0110
-6的二进制表示为1010（6的补码）
则 0110
& 1010
0010 = 2
表示C[6]节点管理的区间为2
C[6] = A[5] + A[6]
2. 查询
当想要查询一个sum(n)(求A[n]的和），可以依据如下算法即可：
step1: 令sum = 0，转第二步；
step2: 假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + C[n]，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？
以下给出证明：
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)
3. 修改
修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)个祖先
所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：
step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。
（i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程）
（下图表示修改A数组中的第一个元素，对应的C数组应做的修改）
//计算2^k public int lowbit(int index) { int temp = index & (-index); return temp; }
/// <summary> /// 修改某一元素值后对树状数组的维护操作 /// </summary> /// <param name="index">需要修改元素的索引值</param> /// <param name="value">元素修改的增量</param> public void add(int index, int value) { while (index < A.Length) //A.Length为原数组的长度 { C[index] += value; index = lowbit(index); } }
/// <summary> /// 对A数组（原数组）进行预处理得到树状数组C /// </summary> public void pretreatment_AToC() { for (int i = 0; i < A.Length; i++) { add(i, A[i]); } }
/// <summary> /// 计算从0开始到索引值为index的元素之和 /// </summary> /// <param name="index">终止元素索引值</param> /// <returns></returns> public int sum(int index) { int s = 0; while (index > 0) { s += C[index]; index -= lowbit(index); } return s; }
/// <summary> /// 计算索引值从start到end的元素之和 /// </summary> /// <param name="start">起始元素索引值</param> /// <param name="end">结尾元素索引值</param> /// <returns></returns> public int sum_StartToEnd(int start, int end) { if (start == 0) { return sum(end); } return sum(end) - sum(start - 1); }
1. 题目描述（Color the ball）：
N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b <=N),小明从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是多次以后小明已经忘记了第 i 个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？
2. 思路
假设有8个气球，下面经过三次染色
采用向上更新，向下统计的方法：
树状数组中的每个节点都代表了一段线段区间，每次更新，根据其特性可以把起始点 a 以后包含的区间找出来，然后把 a 以后的区间全部加一次染色次数；再把 b 以前的区间全部减一次染色次数，这样就修改了树状数组中的[a,b]的区间染色次数。
3. 代码实现
static void Main(string[] args) { i = 3;//染色过程次数 Console.WriteLine("请输入气球的总个数："); N = Int32.Parse(Console.ReadLine());//示例程序，暂不作异常处理，下同 Balloon = new int[N+1]; while (i > 0) { i--; Console.WriteLine("请输入起始位置："); a = Int32.Parse(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("请输入终点位置："); b = Int32.Parse(Console.ReadLine()); add(a, 1);//从起始位置开始更新 add(b + 1, -1);//将终止位置后的元素的更新抵消 } Console.WriteLine("每个气球的被涂的次数为："); for (int j = 1; j <= N; j++) { Console.Write(sum(j) + " ");//输出每个气球被染色的次数 } Console.ReadKey(); }
4. 输出
标签：adk 返回 rgs ati 构造 处理 增加 str 查询
原文地址：http://www.cnblogs.com/Lehman-Share/p/8004983.html
