【算法总结】二分查找续

　　之前谈的都是查找某个特定值，这里主要是谈论最小化最大值和最大化最小值问题。二分问题最容易搞错的就是终止条件，区间形式，返回lb还是ub或者需不需要再加减一。这里列出了模板

一：整型数二分

1.最小化最大值问题

形式一：(ub - lb) > 1 　　区间为 (lb, ub]　　结果为 ub

while (ub - lb > 1) {
    int mid = lb + (ub - lb) / 2;
    if (C(mid)) 
        ub = mid;
    else
        lb = mid;
}
// 终止循环时 ub == lb + 1

形式二: (ub - lb) > 0　　区间为 [lb, ub]　　结果为 ub

while (ub - lb > 0) {
    int mid = lb + (ub - lb) / 2;
    if (C(mid)) 
        ub = mid;
    else
        lb = mid + 1;
}
// 终止循环时 ub == lb

2.最大化最小值问题

形式一：(ub - lb) > 1 　　区间为 [lb, ub)　　结果为 lb

while (ub - lb > 1) {
    int mid = lb + (ub - lb) / 2;
    if (C(mid)) 
        ub = mid;
    else
        lb = mid;
}
// 终止循环时 ub == lb + 1

形式二: (ub - lb) > 0　　区间为 [lb, ub]　　结果为 lb

while (ub - lb > 0) {
    int mid = lb + (ub - lb + 1) / 2;
    if (C(mid)) 
        lb = mid;
    else
        ub = mid - 1;
}
// 终止循环时 ub == lb

　　最小化最大值通过维护ub的位置，最大化最小值通过维护lb的位置。

　　死循环的核心点在于mid的取值方式：mid = lb + (ub - lb) /2，如果某一时刻 ub == lb + 1，那么由于mid的向下取整，会导致 mid = lb; 假如 if 语句导致 lb = mid 发生，那么就会进入死循环，mid = lb，接着 lb = mid。同样的 mid = lb + (ub - lb + 1) / 2； 如果有 ub = mid操作，也有可能进入死循环。但是ub - lb > 1的终止条件会使得此情况不再发生，原因在于当ub == lb + 1时，由于不满足循环条件循环退出，也就不存在mid = lb或者 mid = ub的操作了。

　　当区间为闭区间，防止进入死循环的方法就是不能使mid == lb && mid == ub成立

1）最小化最大值 mid 向下取整（维护ub）

　　如果 if 条件成立，需要维护ub，令ub = mid; 如果不成立则令lb = mid + 1；因为mid向下取整只可能取到lb，为避免死循环就必须使lb = mid + 1；且因为我们要求的是最小化满足条件的值，既然mid不满足循环条件，也就无需考虑此值了。

2）最大化最小值 mid 向上取整（维护lb）

　　如果 if 条件成立，需要维护b，令lb = mid; 如果不成立则令ub = mid - 1；因为mid向上取整只可能取到ub，为避免死循环就必须使ub = mid - 1；且因为我们要求的是最大化满足条件的值，既然mid不满足循环条件，也就无需考虑此值了。

二：浮点数二分

浮点数二分就通常没有所谓的边界问题了

形式一：

for (int i = 0; i < 100; i++) {
    double mid = lb + (ub - lb) / 2;
    if (C(mid)) 
        ub = m; // lb = m;  according to problem
    else
        lb = m; // ub = m;  according to problem
}

　　100次的循环精度可达10e-30

形式二：

while (ub - lb > eps) {
    double mid = lb + (ub - lb) / 2;
    if (C(mid)) 
        ub = m; // lb = m;  according to problem
    else
        lb = m; // lb = m;  according to problem
}

　　eps可根据实际情况来设定，需要注意的是eps如果太小，因为浮点数机器实现的原因，可能会导致死循环。