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HihoCoder上网络流算法题目建模总结

时间:2017-12-17 11:04:35      阅读:185      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:最小   argv   markdown   反向   网络   pre   play   while   class   

经过了几天的学习和做题,我利用刘汝佳书上的网络流算法模板完成了HihoCoder上的几个网络流算法,HihoCoder可能还会继续更新网络流算法,所以我也会接着总结。

这个主要是对网络流算法的建模做分析和理解,不具体分析网络流算法,网络流算法会单独总结。

网络流一·Ford-Fulkerson算法

本题没有建模,就是标准的网络最大流求解,将图建完后直接应用最大流算法即可解决。但在此记录几点注意的地方:

  • 所谓的“残留网络”就是为了让程序在遍历时可以会推所添加的记录流量差的反向边。比如 a-->b 容量为10,流量为3,其意义为从a到b已经走了3个流量,还有7个流量可以走过去,3个流量可以再退回来。

  • 增广路径就是找从 s 到 t 的能通过的路径,所谓能通过就是还存在未满流的边可以再走一些流量。这类增广路径算法的思想就是不断地在“残留网络”上找“增广路径”,然后修改残留网络上的流量,直到不通为止。

代码如下,为刘汝佳书《算法竞赛入门经典》中一个模板:

const int maxn = 505;
const int INF = 0x7fffffff;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};

struct EdmondsKarp {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int a[maxn];
    int p[maxn];

    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));  // reverse edge
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }

    int Maxflow(int s, int t) {
        int flow = 0;
        for (;;) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            queue<int> Q;
            Q.push(s);
            a[s] = INF;
            while (!Q.empty()) {
                int x = Q.front(); Q.pop();
                for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
                        p[e.to] = G[x][i];
                        a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
                        Q.push(e.to);
                    }
                }
                if (a[t]) break;
            }
            if (!a[t]) break;
            for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
                edges[p[u]].flow += a[t];
                edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
            }
            flow += a[t];
        }
        return flow;
    }
};

int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    // freopen("sorted.txt", "w", stdout);
#endif
    
    int N, M, u, v, c;
    cin >> N >> M;
    EdmondsKarp ek;
    // construct the graph
    ek.init(N);
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        cin >> u >> v >> c;
        ek.AddEdge(u, v, c);
    }

    cout << ek.Maxflow(1, N) << endl;

    return 0;

}

网络流二·最大流最小割定理

这部分主要是证明最小割等于最大流,证明详细步骤见上面题目,这里记录下主要步骤:

  • f(S, T) 等于从 s 出来的流,等于当前的网络流量 f。f(S, T) 表示割 (S, T)的净流量。

  • 对于网络的任何一个流,一定小于等于任何一个割的容量(f(S, T) <= C(S, T)

对于一个网络 G=(V, E),有源点 s 汇点 t,以下三个等价:
1、f 是图 G 的最大流
2、残留网络不存在增广路
3、对于G的一个割(S, T),此时 f = C(S, T)
证明:
1=>2:假设 f 是图 G 的最大流,如果残留网络存在增广路 p,流量为 fp,那么有流 f‘ = f + fp > f ,与 f 是最大流矛盾。
2=>3:对于任意的 u S v T,有 f(u, v) = c(u, v),即 \[\sum f(u, v)=\sum c(u, v) = f(S, T) = C(S, T) = f\]

这样,找不到增广路的时候求得的一定是最大流,最大流等于最小割。

另外,本题要求求出最小割集合 S,在割 (S, T) 中,计算出的残留网络从 s 开始遍历,所能遍历到的点即为 S 集合,因为求得的最小割就是最大流,最大流中残留网络不存在增广路径,也就是说从 s 没法走到 t,故从 s 开始遍历,所得到的点的集合就是 S。

const int maxn = 505;
const int INF = 0x7FFFFFFF;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};

bool used[maxn];
std::vector<int> rst;


struct EdmondsKarp {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int a[maxn];
    int p[maxn];

    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));  // reverse edge
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }

    int Maxflow(int s, int t) {
        int flow = 0;
        for (;;) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            queue<int> Q;
            Q.push(s);
            a[s] = INF;
            while (!Q.empty()) {
                int x = Q.front(); Q.pop();
                for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
                        p[e.to] = G[x][i];
                        a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
                        Q.push(e.to);
                    }
                }
                if (a[t]) break;
            }
            if (!a[t]) break;
            for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
                edges[p[u]].flow += a[t];
                edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
            }
            
            flow += a[t];
        }   
        return flow;
    }   
    void GetMinCutSetS(int s) {
        rst.push_back(s); used[s] = true;
        for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
            Edge &e = edges[G[s][i]];
            if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
                GetMinCutSetS(e.to);
            }
        }
    }
};


int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    // 2 <= N <= 500, 1 <= M <= 20000
    int N, M; cin >> N >> M;
    EdmondsKarp ek;
    ek.init(N);

    // construct the graph
    int u, v, c;
    for (int i = 0; i < M; ++i) {
        cin >> u >> v >> c;
        ek.AddEdge(u, v, c);
    }

    int flow = ek.Maxflow(1, N);
    ek.GetMinCutSetS(1);
    std::cout << flow << " " << rst.size() << std::endl;
    for (int i = 0; i < rst.size() - 1; ++i) {
        cout << rst[i] << " ";
    }
    std::cout << rst[rst.size() - 1] << std::endl;

    return 0;
}

说明:代码中的 GetMinCutSetS 就是一个 DFS 方法,从一个点开始遍历得到最终的 S 集合,没什么难的。结果保存在一个 vector 中。

网络流三·二分图多重匹配

二分图的多重匹配,其实质就是需要规定 X 集中的点可以使用多少次,Y 中的点可以重用多少次,如果 X 中的某个点的流量使用完毕,则这条边满流,则不可再次使用。从源点 s 指向 X 集中的边的容量则规定了这个点能用多少次!Y 集中的指向汇点 t 的边的容量也是如此含义。所以,如果 Y 集中的容量没有用光,则说明当前的流(匹配)还没有达到所期望的要求。
这题使用了CheckMaxMatch 用来判断指向汇点的边是否满流。

const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};

// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS,所有能遍历到的点都是 S 集合里面的,
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int a[maxn];
    int p[maxn];

    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));  // reverse edge
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }

    int Maxflow(int s, int t) {
        int flow = 0;
        for (;;) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            queue<int> Q;
            Q.push(s);
            a[s] = INF;
            while (!Q.empty()) {
                int x = Q.front(); Q.pop();
                for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
                        p[e.to] = G[x][i];
                        a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
                        Q.push(e.to);
                    }
                }
                if (a[t]) break;
            }
            if (!a[t]) break;
            for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
                edges[p[u]].flow += a[t];
                edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
            }
            
            flow += a[t];
        }
        
        return flow;
    }

    bool CheckMaxMatch(int N, int M) {
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) {
                Edge &e = edges[G[N + i][j]];
                if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; }
            }
            
        }
        return true;
    }
    /* 
    // 遍历求网络的最小割中的 S 集合点,结果储存在上面的 vector<int> rst 中;
    void GetMinCutSetS(int s) {
        rst.push_back(s); used[s] = true;
        for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
            Edge &e = edges[G[s][i]];
            if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
                GetMinCutSetS(e.to);
            }
        }
    }
    */
};

int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif

    int T; cin >> T;
    while (T--) {
        int N, M; cin >> N >> M;
        EdmondsKarp ek;
        ek.init(N + M + 2);
        int m[maxn + 5], a[maxn + 5], b[maxn + 5];
        for (int i = 0; i < M; ++i) cin >> m[i];
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            cin >> a[i] >> b[i];
            int tmprecv;
            for (int j = 0; j < b[i]; ++j) {
                cin >> tmprecv;
                // X -> Y
                ek.AddEdge(i + 1, tmprecv + N, 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            ek.AddEdge(0, i, a[i - 1]);
        }
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            ek.AddEdge(N + i, N + M + 1, m[i - 1]);
        }
        ek.Maxflow(0, N + M + 1);
        cout << (ek.CheckMaxMatch(N, M) ? "Yes" : "No") << endl;
    }
    return 0;
}

网络流四·最小路径覆盖

建图的方法为:
1、添加源点 s 和汇点 t。
2、拆点,将每个点拆成两个点,比如 a 拆成 a1, a2,b 拆成 b1, b2。
3、从源点向 X 集合中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
4、从 Y 集合向汇点中每个点添加一条容量为 1 的有向边。
5、如果 a -> b 有边,则从 a1 向 b2 添加一条容量为 1 的有向边。

最小路径覆盖就是总点数 N - 最小割。证明在我学会之前暂时不写。

推荐去看《计算机算法设计与分析》中的网络流 24 题中的魔术球问题,这是一道很隐晦的利用网络流的最小路径覆盖问题,很经典。

const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS,所有能遍历到的点都是 S 集合里面的,
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int a[maxn];
    int p[maxn];

    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));  // reverse edge
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }
    int Maxflow(int s, int t) {
        int flow = 0;
        for (;;) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            queue<int> Q;
            Q.push(s);
            a[s] = INF;
            while (!Q.empty()) {
                int x = Q.front(); Q.pop();
                for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
                        p[e.to] = G[x][i];
                        a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
                        Q.push(e.to);
                    }
                }
                if (a[t]) break;
            }
            if (!a[t]) break;
            for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
                edges[p[u]].flow += a[t];
                edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
            }
            flow += a[t];
        }
        return flow;
    }
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int N, M; cin >> N >> M;
    EdmondsKarp edk;
    edk.init(N + N);
    int u, v;
    for (int i = 1; i <= M; ++i) {
        cin >> u >> v;
        edk.AddEdge(u, v + N, 1);
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        edk.AddEdge(0, i, 1);
        edk.AddEdge(N + i, N + N + 1, 1);
    }
    cout << N - edk.Maxflow(0, N + N + 1) << endl;
    return 0;
}

网络流五·最大权闭合子图

最大权闭合子图:目前就我的理解是用来建模求解一些有“收入”以及“支出”并且求最后最大的收益类问题的。建模方法如下:

1、添加源点 s 和汇点 t 。
2、从源点 s 向 X 集合中每个点连一条容量为该点“收入”的有向边。
3、从 Y 集合中每个点向汇点 t 连一条容量为该点“支出”的有向边。
4、若 X 和 Y 集合中的点有依赖关系,则从 X 集合向 Y 集合每个关系添加一条容量为无限大的有向边。

最终的结果为所有收入之和 - 最小割。

const int maxn = 1005;
const int INF = 0x7FFFFFFF;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
    Edge(int u, int v, int c, int f) : from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
};
// 求最小割所用到的两个
// 求最小割点的思路为在原来求最大流的残留网络上从 s 点开始 DFS,所有能遍历到的点都是 S 集合里面的,
// 剩余没有遍历到的点就是 T 集合里的点。
// bool used[maxn];
// std::vector<int> rst;
struct EdmondsKarp {
    int n, m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int a[maxn];
    int p[maxn];

    void init(int n) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) G[i].clear();
        edges.clear();
    }

    void AddEdge(int from, int to, int cap) {
        edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
        edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));  // reverse edge
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m - 2);
        G[to].push_back(m - 1);
    }

    int Maxflow(int s, int t) {
        int flow = 0;
        for (;;) {
            memset(a, 0, sizeof(a));
            queue<int> Q;
            Q.push(s);
            a[s] = INF;
            while (!Q.empty()) {
                int x = Q.front(); Q.pop();
                for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!a[e.to] && e.cap > e.flow) {
                        p[e.to] = G[x][i];
                        a[e.to] = min(a[x], e.cap - e.flow);
                        Q.push(e.to);
                    }
                }
                if (a[t]) break;
            }
            if (!a[t]) break;
            for (int u = t; u != s; u = edges[p[u]].from) {
                edges[p[u]].flow += a[t];
                edges[p[u] ^ 1].flow -= a[t];
            }   
            flow += a[t];
        }
        return flow;
    }

    bool CheckMaxMatch(int N, int M) {
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            for (int j = 0; j < G[N + i].size(); ++j) {
                Edge &e = edges[G[N + i][j]];
                if (e.flow != e.cap && e.flow > 0) { return false; }
            }           
        }
        return true;
    }
    /* 
    // 遍历求网络的最小割中的 S 集合点,结果储存在上面的 vector<int> rst 中;
    void GetMinCutSetS(int s) {
        rst.push_back(s); used[s] = true;
        for (int i = 0; i < G[s].size(); ++i) {
            Edge &e = edges[G[s][i]];
            if (!used[e.to] && e.flow != e.cap) {
                GetMinCutSetS(e.to);
            }
        }
    }
    */
};
int main(int argc, char** argv) {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int N, M; cin >> N >> M;
    int b[maxn], sum = 0;
    EdmondsKarp ek;
    ek.init(N + M + 2);
    // 第i个数表示邀请编号为i的学生需要花费的活跃值b[i]
    for (int i = 1; i <= M; ++i) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        int a, k, recvtmp; cin >> a >> k;
        sum += a;
        ek.AddEdge(0, i, a);
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
            cin >> recvtmp;
            ek.AddEdge(i, recvtmp + N, INF);
        }
    }
    for (int i = 1; i <= M; ++i) {
        ek.AddEdge(i + N, N + M + 1, b[i]);
    }
    cout << sum - ek.Maxflow(0, N + M + 1) << endl;
    return 0;
}

HihoCoder上网络流算法题目建模总结

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原文地址:http://www.cnblogs.com/narutow/p/8051049.html

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