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作者： dreamcatcher-cx
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预备知识
堆排序
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。
堆
堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：
堆排序基本思想及步骤
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
a.假设给定无序序列结构如下
2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b.重新调整结构，使其继续满足堆定义
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
再简单总结下堆排序的基本思路：
a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
代码实现:
using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; namespace _011_堆排序 { class Program { static void Main(string[] args) { int[] data = { 4,6,8,5,9}; HeapSort(data); foreach (var item in data) { Console.Write(item+" "); } } public static void HeapSort(int[] data) { //遍历这个数的所有非叶节点，挨个把所有的子树，变成子大顶堆 for (int i = data.Length/2; i>0; i--) { //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构 HeapAjust(i, data, data.Length); } //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素 for (int i = data.Length-1; i >0; i--) { //把编号0和编号i位置进行交换 Swap(data, 0, i); ////重新对堆进行调整 HeapAjust(1,data,i); } } /// <summary> /// 调整大顶堆 建立在大顶堆已构建的基础 /// </summary> /// <param name="numberTojust"></param> /// <param name="data"></param> /// <param name="maxNumber"></param> public static void HeapAjust(int numberTojust,int[] data,int maxNumber) { int MaxNodeNumber = numberTojust;//最大结点的编号 int tempI = numberTojust; while (true) { //把i节点的子树变成大顶堆 int leftChildNumber = tempI * 2; int rightChildNumber = leftChildNumber + 1; if (leftChildNumber <= maxNumber && data[leftChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1]) MaxNodeNumber = leftChildNumber; if (rightChildNumber <= maxNumber && data[rightChildNumber - 1] > data[MaxNodeNumber - 1]) MaxNodeNumber = rightChildNumber; if (MaxNodeNumber != tempI) //发现了一个比i更大的子节点 交换i和MaxNodeNumber里面的数据 { Swap(data,tempI-1,MaxNodeNumber-1); tempI = MaxNodeNumber; } else { break; } } } public static void Swap(int[] arr,int a,int b) { int temp = arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; } } }
最后
堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。
