本人的第一篇博客，纯原创，部分内容参考下面两位博主的文章，鸣谢！
https://www.cnblogs.com/GODYCA/archive/2013/01/15/2861545.html
https://www.cnblogs.com/LiCheng-/p/8206444.html （这篇文章写的不是很好，因为博文提到“每次问题规模缩小程度必须为1”，而事实上我在查阅资料时，这是需要根据实际情况确定的，比如”二分查找法”就是最好的例子，每次问题规模缩小程度就是一半）
关于递归，今天逛园子的时候偶然发现的，一篇关于利用数学归纳法指导编写递归程序的博文，启发了我。但博主的文章写的不是那么好理解，于是我又琢磨了一下午，参考了别的资料，写了三个例子帮助自己理解。
关于数学归纳法，先看看是怎么回事：
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
举个例子：
已知N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*…*2*1，求证R(N)与R(N-1)之间的关系！
第一步当N=1时可知 N!=1
第二步设当R(N)=N!，R(N-1)=(N-1)!
第三步，求R(N)与R(N-1)之间的关系：
因为R(N-1)=(N-1)!= (N-1)*…*2*1=> R(N)=N*R(N-1)
即：R(N)=N*R(N-1)
写成一个函数求N!的值：
factorial (int N)
{
if(N==1) return 1; /* 特殊部分 */
return N * factorial (N - 1) /* 递归部分 */
}
上面这个例子，利用数学归纳法得到R(N)=N*R(N-1) 的关系式，恰好是递归写法的核心（通用）部分，而递归返回（特殊）部分为 if(N==1) return 1 语句。
那么编写递归程序就有指导思想：首先分析得到问题解决的通用处理步骤（规律），再处理递归返回（特殊）部分
下面看看三个例子帮助消化：
第一个例子（自己碰到的面试题，当时写不好，现在一下子就写出了）：
现有如下关系：1、1、2、3、5、8、13…请用递归求出第150位数字的值？
分析：对于8=5+3，对于5=3+2，对于2=1+1，即第n位=第n-1位+第n-2位,其中n>2
而对于第1位、第2位时，他们的值都是一样，即为1.
那我们可以很容易就可以写出来：
int IndexNum (int n)
{
if(n==1||n==2)
{
return 1;
}
return IndexNum(n - 1) + IndexNum(n - 2);
}
第二个例子，汉诺塔的实现，这个也很有意思（虽然书上很多）：
汉诺塔：三个立柱（命名为from、temp、to，from为圆盘初始所在立柱、to是目标立柱），N个直径不相等的圆盘，将圆盘从from上一个一个移动在to上，要求，每次只能移动一个圆盘，而且只能在三个立柱之间移动。目标柱to不能出现大盘压小盘的情况。
首先用数学归纳法分析：
当只有一个圆盘的时候，我们可以确定：
直接将圆盘从from移动到to上： move (n, from, to);
现在假设有N个圆盘在from上，则需要进行如下操作：
首先需要将from上N-1个盘移动到temp上： Hanoi (n-1, from, temp);
然后将from上的第N个盘移到to： move (n, from, to);
最后再将temp上N-1个盘移到to上： Hanoi (n-1, temp, to);
设Hanoi (int n, int from, int temp, int to)函数就是我们要求的汉诺塔实现函数，意义是将按直径递增摞在一起的n个圆盘从from按要求移动到to上，temp为辅助柱。
写出代码即：
void Hanoi (int n, int from, int temp, int to)
{
if (n == 1)
{
move (n, from, to);
}
else
{
Hanoi (n-1, from, to, temp);
move (n, from, to);
Hanoi (n-1, temp, from, to);
}
}
上面的代码，也同样包含通用规律，特殊部分即是递归的返回部分。
再看第三个例子，关于建立单向链表关系：
假设有节点，定义如下：
class node
{
public int Num { get; set; } //序号
public node next { get; set; } //指向的下一个节点
public node(int num)
{
Num = num;
}
}
现在有数组nodes如下：
node[] nodes = new node[5];
nodes[0] = new node(2);
nodes[1] = new node(4);
nodes[2] = new node(1);
nodes[3] = new node(3);
nodes[4] = new node(9);
需将他们建立单向链关系：
首先分析：对于数组第n个节点，有nodes[n].next = nodes[n+1]的通用关系；
对于最后一个节点，有nodes[4].next = null
那我们可以这么写：
void CreatLink(node[]data, int n)
{
if (n >= data.Length-1)
{
data[n] = null;
return;
}else
{
data[n].next = data[n + 1];
CreatLink(data, n + 1);
}
}
初步总结：对于编写递归程序，首先是得到其通用的处理步骤（规律），然后再分析其特殊部分，而特殊部分往往是递归函数返回（闭环）的关键。
