前置知识
网络最大流入门
前言
Dinic在信息学奥赛中是一种最常用的求网络最大流的算法。
它凭借着思路直观，代码难度小，性能优越等优势，深受广大oier青睐
思想
$Dinic$算法属于增广路算法。
它的核心思想是：对于每一个点，对其所连的边进行增广，在增广的时候，每次增广“极大流”
这里有别于EK算法，EK算法是从边入手，而Dinic算法是从点入手
在增广的时候，对于一个点连出去的边都尝试进行增广，即多路增广
Dinic算法还引入了分层图这一概念，即对于$i$号节点，用$dis(i)$表示它到源点的距离，并规定，一条边能够被增广，当且仅当它连接的两个点$u,v$满足：$dis(v)=dis(u)+1$，这样可以大大优化其时间复杂度。
实现
有了上面的知识，Dinic实现起来也就比较简单了。
每次BFS构造分层图（注意必须每次都重新构造，因为每次增广之后会删除一些无用的边，也就会删除一些无用的点）
然后从源点开始多路增广
优化
- 当前弧优化：对于每个点，我们记录下它已经增广了哪些边，当再次回到这个点的时候，无视已经增广过的边，从下一条边开始增广
- 分层优化（自己xjb起的名字）：在进行分层的时候，找到汇点立即退出
- 剩余量优化（也是自己起的）：在进行增广的时候，如果该节点已经没有流量，直接退出
时间复杂度
Dinic算法的理论时间复杂度为$O(n^2*m)$
证明可以看这里
但是！
Dinic算法的性能在比赛中表现的非常优越。
按照集训队大佬ly的说法，我们可以认为Dinic算法的时间复杂度是线性的（比某标号算法不知道高到哪里去了）
代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #define AddEdge(x,y,z) add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,0); using namespace std; const int MAXN=1e6+1; const int INF=1e8+10; inline char nc() { static char buf[MAXN],*p1=buf,*p2=buf; return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; } inline int read() { char c=nc();int x=0,f=1; while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=nc();} while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=nc();} return x*f; } int N,M,S,T; struct node { int v,flow,nxt; }edge[MAXN*4]; int head[MAXN],cur[MAXN],num=0;//注意这里必须从0开始 inline void add_edge(int x,int y,int z) { edge[num].v=y; edge[num].flow=z; edge[num].nxt=head[x]; head[x]=num++; } int deep[MAXN],q[MAXN]; inline bool BFS() { memset(deep,0,sizeof(deep)); deep[S]=1; int l=0,r=1; q[++l]=S; while(l<=r) { int p=q[l++]; for(int i=head[p];i!=-1;i=edge[i].nxt) if(!deep[edge[i].v]&&edge[i].flow) { deep[edge[i].v]=deep[p]+1;q[++r]=edge[i].v; if(edge[i].v==T) return 1;//当找到汇点的时候直接返回 快30ms } } return deep[T]; } int DFS(int now,int nowflow) { if(now==T) return nowflow; int totflow=0;//从这个点总共可以增广多少流量 for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)//当前弧优化 快150ms { if(deep[edge[i].v]==deep[now]+1&&edge[i].flow)//只有满足距离要求与流量要求的点才能进行增广 { int canflow=DFS(edge[i].v,min(nowflow,edge[i].flow)); edge[i].flow-=canflow;edge[i^1].flow+=canflow;//增广 totflow+=canflow; nowflow-=canflow; if(nowflow<=0) break; //当前点已经没有流量 快100ms } } return totflow; } void Dinic() { int ans=0; while(BFS())//每次构造分层图 { memcpy(cur,head,sizeof(head)); //当前弧优化 ans+=DFS(S,INF);//进行增广 } printf("%d",ans); } int main() { #ifdef WIN32 freopen("a.in","r",stdin); #else #endif N=read();M=read();S=read();T=read(); memset(head,-1,sizeof(head)); for(int i=1;i<=M;i++) { int x,y,z; x=read();y=read();z=read(); AddEdge(x,y,z); } Dinic(); return 0; }
