一、最小生成树(MST)
①、生成树的代价：设G=（V，E）是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
②、最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树的概念可以应用到许多实际问题中。 例：在n个城市之间建造通信网络，至少要架设n-1条通信线路，而每两个城市之间架设通信线路的造价是不一样的，那么如何设计才能使得总造价最小？
③、MST性质：假设G=(V, E)是一个无向连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u, v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u, v)的最小生成树。
二、Prim算法
①基本思想：设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，T=(U, TE)是G的最小生成树， T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={ }，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。
关键:是如何找到连接U和V-U的最短边，利用MST性质，可以用下述方法构造候选最短边集：对应V-U中的每个顶点，保留从该顶点到U中的各顶点的最短边。
②数据结构设计
数组lowcost[n]：用来保存集合V-U中各顶点与集合U中顶点最短边的权值，lowcost[v]=0表示顶点v已加入最小生成树中；
数组adjvex[n]：用来保存依附于该边（集合V-U中各顶点与集合U中顶点的最短边）在集合U中的顶点。
如何用数组lowcost和adjvex表示候选最短边集？
lowcost[i]=w；表示顶点vi和顶点vk之间的权值为w，
adjvex[i]=k；其中：vi∈ V-U 且vk ∈U。
③Prim算法——伪代码
1. 初始化两个辅助数组lowcost和adjvex； 2. 输出顶点u0，将顶点u0加入集合U中； 3. 重复执行下列操作n-1次 3.1 在lowcost中选取最短边，取adjvex中对应的顶点序号k； 3.2 输出顶点k和对应的权值； 3.3 将顶点k加入集合U中； 3.4 调整数组lowcost和adjvex；
④C++实现
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 using namespace std; 4 5 #define MAX 100 6 #define MAXCOST 0x7fffffff 7 8 int graph[MAX][MAX]; 9 10 /*方法二*/ 11 struct Node 12 { 13 int lowcost;// 权值 14 int adjvex;// 候选最短边的邻接点 15 }; 16 Node shortEdge[MAX];// 候选最短边集合 17 void prim2(int graph[][MAX], int n) 18 { 19 // 初始化辅助数组shortEdge,所有点到点1的权值 20 for (int i = 2; i <= n; i++) 21 { 22 shortEdge[i].lowcost = graph[1][i]; 23 shortEdge[i].adjvex = 1; 24 } 25 shortEdge[1].lowcost = 0;// 将顶点1加入集合U 26 for (int i = 2; i <= n; i++) 27 { 28 // 寻找最短边的邻接点k 29 int k = 0, min = MAXCOST; 30 for (int j = 2; j <= n; j++) 31 { 32 if (min >shortEdge[j].lowcost&&shortEdge[j].lowcost!=0) 33 { 34 min = shortEdge[j].lowcost; 35 k = j; 36 } 37 } 38 cout << "(" << k << shortEdge[k].adjvex << ")" << shortEdge[k].lowcost; 39 shortEdge[k].lowcost = 0;// 将顶点k加入结合U中 40 for (int j = 2; j <= n; j++) 41 { 42 if (graph[k][j] < shortEdge[j].lowcost) 43 { 44 shortEdge[j].lowcost = graph[k][j]; 45 shortEdge[j].adjvex = k; 46 } 47 } 48 } 49 } 50 51 int main() 52 { 53 int i, j, k, m, n; 54 int x, y, cost; 55 ifstream in("input.txt"); 56 in >> m >> n;//m=顶点的个数，n=边的个数 57 //初始化图G 58 for (i = 1; i <= m; i++) 59 { 60 for (j = 1; j <= m; j++) 61 { 62 graph[i][j] = MAXCOST; 63 } 64 } 65 //构建图G 66 for (k = 1; k <= n; k++) 67 { 68 in >> i >> j >> cost; 69 graph[i][j] = cost; 70 graph[j][i] = cost; 71 } 72 prim2(graph, m); 73 system("pause"); 74 return 0; 75 }
三、Kruskal算法
①基本思想：设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
②数据结构设计：因为Kruskal算法是依次对图中的边进行操作，因此考虑用边集数组存储图中的边，为了提高查找最短边的速度，可以先对边集数组按边上的权值排序。
1 struct EdgeType 2 { 3 int from, to;// 边依附的两个顶点 4 int weight;// 边的权值 5 }; 6 7 template<class T> 8 struct EdgeGraph 9 { 10 T vertex[Maxvertex];// 存放顶点信息 11 vector<EdgeType> edge;// 存放边的数组(用vector便于排序) 12 int vertexNum, edgeNum;//顶点数和边数 13 };
③Kruskal算法——伪代码
1. 初始化：U=V； TE={ }； 2. 循环直到T中的连通分量个数为1 2.1 在E中寻找最短边(u，v); 2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则 2.2.1 将边(u，v)并入TE； 2.2.2 将这两个连通分量合为一个； 2.3 在E中标记边(u，v)，使得(u，v)不参加后续最短边的选取；
④C++实现
#include<iostream> #include<fstream> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; const int Maxvertex = 10;// 最多顶点数 const int MaxEdge = 100;// 最多边数 struct EdgeType { int from, to;// 边依附的两个顶点 int weight;// 边的权值 }; template<class T> struct EdgeGraph { T vertex[Maxvertex];// 存放顶点信息 vector<EdgeType> edge;// 存放边的数组(用vector便于排序) int vertexNum, edgeNum;//顶点数和边数 }; int FindRoot(int parent[], int v)// 求顶点的双亲结点 { int t = v; while(parent[t]> -1) t = parent[t]; return t; } void Kruskal(EdgeGraph<int> G) { int parent[Maxvertex]; for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) parent[i] = -1;// 表示顶点i没有双亲结点 for (int num = 0, i = 0; i < G.edgeNum; i++) { int vex1 = FindRoot(parent, G.edge[i].from); int vex2 = FindRoot(parent, G.edge[i].to); if (vex1 != vex2) { cout << "(" << G.edge[i].from << G.edge[i].to << ")" << endl; parent[vex2] = vex1;// 合并生成树 num++; if (num == G.vertexNum - 1) return; } } } bool sort_by_weight(EdgeType&k1, EdgeType&k2) { return k1.weight < k2.weight; } int main() { EdgeGraph<int> Edgraph;// 存放图的信息 ifstream in("input.txt"); in >> Edgraph.vertexNum >> Edgraph.edgeNum; //构建图G for (int k = 0; k <Edgraph.edgeNum; k++) { EdgeType temp; in >> temp.from >> temp.to >> temp.weight; Edgraph.edge.push_back(temp); } // 将边按照权值排序 sort(Edgraph.edge.begin(), Edgraph.edge.end(), sort_by_weight); Kruskal(Edgraph); system("pause"); return 0; }
input.txt 6 10 1 2 6 1 3 1 1 4 5 2 3 5 2 5 3 3 4 5 3 5 6 3 6 4 4 6 2 5 6 6
