一、最短路径
①在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
AE：1 ADE：2 ADCE：3 ABCE：3
②在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
AE：100 ADE：90 ADCE：60 ABCE：70
③单源点最短路径问题
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
应用实例——计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。
④每一对顶点之间的最短路径
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。 解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
二、Dijkstra算法
①基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
②设计数据结构 :
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
3、数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
4、数组s[n]：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。
③Dijkstra算法——伪代码
1 1. 初始化数组dist、path和s； 2 2. while (s中的元素个数<n) 3 2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k； 4 2.2 输出dist[j]和path[j]； 5 2.3 修改数组dist和path； 6 2.4 将顶点vk添加到数组s中；
④C++代码实现
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 #include<string> 4 using namespace std; 5 #define MaxSize 10 6 #define MAXCOST 10000 7 // 图的结构 8 template<class T> 9 struct Graph 10 { 11 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组 12 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组 13 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数 14 }; 15 // 最短路径Dijkstra算法 16 void Dijkstra(Graph<string> G,int v) 17 { 18 int dist[MaxSize];// i到j的路径长度 19 string path[MaxSize];// 路径的串 20 int s[MaxSize];// 已找到最短路径的点的集合 21 bool Final[MaxSize];//Final[w]=1表示求得顶点V0至Vw的最短路径 22 // 初始化dist\path 23 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 24 { 25 Final[i] = false; 26 dist[i] = G.arc[v][i]; 27 if (dist[i] != MAXCOST) 28 path[i] = G.vertex[v] + G.vertex[i]; 29 else 30 path[i] = " "; 31 } 32 s[0] = v; // 初始化s 33 Final[v] = true; 34 int num = 1; 35 while (num < G.vertexNum) 36 { 37 // 在dist中查找最小值元素 38 int k = 0,min= MAXCOST; 39 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 40 { 41 if (i == v)continue; 42 if (!Final[i] && dist[i] < min) 43 { 44 k = i; 45 min = dist[i]; 46 } 47 } 48 cout << dist[k]<<path[k]<<endl; 49 s[num++] = k;// 将新生成的结点加入集合s 50 Final[k] = true; 51 // 修改dist和path数组 52 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 53 { 54 if (!Final[i]&&dist[i] > dist[k] + G.arc[k][i]) 55 { 56 dist[i] = dist[k] + G.arc[k][i]; 57 path[i] = path[k] + G.vertex[i]; 58 } 59 } 60 } 61 } 62 int main() 63 { 64 // 新建图 65 Graph<string> G; 66 string temp[]= { "v0","v1","v2","v3","v4" }; 67 /*int length = sizeof(temp) / sizeof(temp[0]); 68 G.vertexNum = length; 69 G.arcNum = 7;*/ 70 ifstream in("input.txt"); 71 in >> G.vertexNum >> G.arcNum; 72 // 初始化图的顶点信息 73 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 74 { 75 G.vertex[i] = temp[i]; 76 } 77 //初始化图G的边权值 78 for (int i =0; i <G.vertexNum; i++) 79 { 80 for (int j = 0; j <G.vertexNum; j++) 81 { 82 G.arc[i][j] = MAXCOST; 83 } 84 } 85 for (int i = 0; i < G.arcNum; i++) 86 { 87 int m, n,cost; 88 in >> m >> n >> cost; 89 G.arc[m][n] = cost; 90 } 91 Dijkstra(G, 0); 92 system("pause"); 93 return 0; 94 }
// input.txt
1 5 7 2 0 1 10 3 0 3 30 4 0 4 100 5 1 2 50 6 2 4 10 7 3 2 20 8 3 4 60
三、Floyd算法
①基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
②设计数据结构
1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 。
2、数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：
3、数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
③C++代码实现
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 #include<string> 4 using namespace std; 5 #define MaxSize 10 6 #define MAXCOST 10000 7 int dist[MaxSize][MaxSize];// 存放在迭代过程中求得的最短路径 8 string path[MaxSize][MaxSize];// vi到vj的最短路径 9 // 图的结构 10 template<class T> 11 struct Graph 12 { 13 T vertex[MaxSize];// 存放图中顶点的数组 14 int arc[MaxSize][MaxSize];// 存放图中边的数组 15 int vertexNum, arcNum;// 图中顶点数和边数 16 }; 17 void Floyd(Graph<string> G) 18 { 19 // 初始化 20 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++) 21 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) 22 { 23 if (i == j) { dist[i][j] = 0; path[i][j] = ""; } 24 dist[i][j] = G.arc[i][j]; 25 if (dist[i][j] != MAXCOST) 26 path[i][j] = G.vertex[i] + G.vertex[j]; 27 else 28 path[i][j] = " "; 29 } 30 // 进行n次迭代 31 for(int k=0;k<G.vertexNum;k++) 32 for(int i=0;i<G.vertexNum;i++) 33 for (int j = 0; j < G.vertexNum; j++) 34 if (dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) 35 { 36 dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; 37 path[i][j] = path[i][k] + path[k][j]; 38 } 39 } 40 int main() 41 { 42 int i, j, cost; 43 Graph<string> G;// 存放图的信息 44 ifstream in("input.txt"); 45 in >> G.vertexNum >> G.arcNum; 46 string temp[] = { "a","b","c" }; 47 // 初始化图的顶点信息 48 for (int i = 0; i < G.vertexNum; i++) 49 { 50 G.vertex[i] = temp[i]; 51 } 52 //初始化图G 53 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++) 54 { 55 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++) 56 { 57 G.arc[i][j] = MAXCOST; 58 } 59 } 60 //构建图G 61 for (int k = 0; k <G.arcNum; k++) 62 { 63 in >> i >> j >> cost; 64 G.arc[i][j] = cost; 65 } 66 Floyd(G); 67 for (i = 0; i < G.vertexNum; i++) 68 { 69 for (j = 0; j < G.vertexNum; j++) 70 { 71 if (i != j) 72 { 73 cout << "顶点" << i << "到顶点" << j << "的最短路径长度为" << dist[i][j] << endl; 74 cout << "具体路径为:" << path[i][j] << endl; 75 } 76 } 77 } 78 system("pause"); 79 return 0; 80 }
// input.txt 3 5 0 1 4 1 0 6 0 2 11 2 0 3 1 2 2
参考文献：
[1]王红梅, 胡明, 王涛. 数据结构(C++版)[M]. 北京：清华大学出版社。
