编程之法：面试和算法心得（最大连续乘积子串）

内容全部来自编程之法：面试和算法心得一书，实现是自己写的使用的是java

题目描述

给一个浮点数序列，取最大乘积连续子串的值，例如 -2.5，4，0，3，0.5，8，-1，则取出的最大乘积连续子串为3，0.5，8。也就是说，上述数组中，3 0.5 8这3个数的乘积30.58=12是最大的，而且是连续的。

分析与解法

此最大乘积连续子串与最大乘积子序列不同，请勿混淆，前者子串要求连续，后者子序列不要求连续。也就是说，最长公共子串（Longest CommonSubstring）和最长公共子序列（LongestCommon Subsequence，LCS）是：

• 子串（Substring）是串的一个连续的部分，
• 子序列（Subsequence）则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得的新序列；

更简略地说，前者（子串）的字符的位置必须连续，后者（子序列LCS）则不必。比如字符串“ acdfg ”同“ akdfc ”的最长公共子串为“ df ”，而它们的最长公共子序列LCS是“ adf ”，LCS可以使用动态规划法解决。

解法一

或许，读者初看此题，可能立马会想到用最简单粗暴的方式：两个for循环直接轮询。

但这种蛮力的方法的时间复杂度为O(n^2)，能否想办法降低时间复杂度呢？

解法二

考虑到乘积子序列中有正有负也还可能有0，我们可以把问题简化成这样：数组中找一个子序列，使得它的乘积最大；同时找一个子序列，使得它的乘积最小（负数的情况）。因为虽然我们只要一个最大积，但由于负数的存在，我们同时找这两个乘积做起来反而方便。也就是说，不但记录最大乘积，也要记录最小乘积。

假设数组为a[]，直接利用动态规划来求解，考虑到可能存在负数的情况，我们用maxend来表示以a[i]结尾的最大连续子串的乘积值，用minend表示以a[i]结尾的最小的子串的乘积值，那么状态转移方程为：

  maxend = max(max(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]);
  minend = min(min(maxend * a[i], minend * a[i]), a[i]);

初始状态为maxend = minend = a[0]。

参考代码如下：

 public static double  maxProductSubstring(double[] a)
    {
        double maxEnd = a[0];
        double minEnd = a[0];
        double maxResult = a[0];
        for (int i = 1; i < a.length; ++i)
        {
            double end1 = maxEnd * a[i], end2 = minEnd * a[i];
            maxEnd = Math.max(Math.max(end1, end2), a[i]);
            minEnd = Math.min(Math.min(end1, end2), a[i]);
            maxResult = Math.max(maxResult, maxEnd);
        }
        return maxResult;
    }

动态规划求解的方法一个for循环搞定，所以时间复杂度为O(n)。