本章的重点是循环不变式。也就是在一个循环中存在着某些不变的量。它类似于数学归纳法的归纳步骤：
- 初始化：在循环第一轮迭代开始之前，应该是正确的。
- 保持：如果在循环的某一次迭代开始之前它是正确的，那么在下一次迭代开始之前，它也应该保持正确。
- 终止：当循环结束时，不变式给了我们一个有用的性质，它有助于说明算法是正确的。
我们在设计一个算法、分析一个算法的时候，要适当应用循环不变式来简化分析工作、证明算法的正确性。
书中举例插入排序：
n个元素的待排序数组A，下标是从1到n。 j从2开始一直遍历到大于n（此时会退出循环）。循环不变式的量是：A[1...j-1]这个子数组是已排序的。
- 初始化：j=2, 此时A[1...j-1]只包含一个元素，所以它是正确的（已排序的）。
- 保持：通过将A[j-1], A[j-2]....等元素向右移动一个位置，直到找到A[j]的适当位置为止，来保持A[1...j-1]已排序。
- 终止：当j大于n时，外层for循环会结束。
通过这个简单的约束规则，可以很容易地默写出插入排序的实现代码：
void insert_sort(int* A, int n) { for (int j = 1; j < n;j++) { int key = A[j]; int i = j-1; for (; i>=0 && key < A[i]; i--) { A[i+1] = A[i]; } A[i+1] = key; } }
存在着两层for循环，所以算法的时间复杂度是O(n^2).
只用了一个临时变量key, 所以空间复杂度是O(1)
扩展思考一下：插入排序可以对链表进行排序吗？
应该是可以的。假设存在链表list. 每次从list中摘取一个节点，将它插入到sortedList中，一直到list为空。循环不变式sortedList是有序的链表。
于是循环不变式是：
- 初始化：一开始sortedList是list的头结点，所以它是正确的（已排序的）。
- 保持：通过依次从list中摘取一个节点，在sortedList的合适位置中插入，来保持sortedList是有序的。
- 终止：list没有更多节点是，外层for循环会结束。
先定义一下list
typedef struct List{ int item; struct List* next; } List; List* AddList(List* l, int item);
#include "list.h" List* AddList(List* l, int item) { List* node = new(List);// (List*) malloc(sizeof(List)); node->item = item; node->next = 0; if (l) { node->next = l->next; l->next = node; return l; } return node; }
再来实现一下链表的插入排序
List* insert_sortL(List* list) { List* head = list; if (head == NULL) { return NULL; } List* sortedList = head;//初始化，sortedList只有一个节点。 List* j = head->next; sortedList->next = NULL;//将head从list中摘取出来 for (; j != NULL;) { List* current = j;//注意摘取节点j(current)的次序 j = j->next; current->next = NULL; int k = current->item; if (k < sortedList->item) {//如果比sortedList的头结点小，则需要更新头结点 current->next = sortedList; sortedList = j; continue; } List* i = sortedList;//将current插入到sortedList的合适位置 for (; i->next != NULL && k > i->next->item; i = i->next) { } current->next = i->next; i->next = current; } return sortedList; }
