扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
递归形式：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } int r=exgcd(b,a%b,x,y); int t=x; x=y; y=t-a/b*y; return r; }
非递归形式：
1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 { 3 int x1,y1,x0,y0; 4 x0=1; y0=0; 5 x1=0; y1=1; 6 x=0; y=1; 7 int r=m%n; 8 int q=(m-r)/n; 9 while(r) 10 { 11 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 12 x0=x1; y0=y1; 13 x1=x; y1=y; 14 m=n; n=r; r=m%n; 15 q=(m-r)/n; 16 } 17 return n; 18 }
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int MAX_N = 1e5+9; 4 long long exgcd(long long m,long long n,long long &x,long long &y) 5 { 6 long long x1,y1,x0,y0; 7 x0=1; y0=0; 8 x1=0; y1=1; 9 x=0; y=1; 10 long long r=m%n; 11 long long q=(m-r)/n; 12 while(r) 13 { 14 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 15 x0=x1; y0=y1; 16 x1=x; y1=y; 17 m=n; n=r; r=m%n; 18 q=(m-r)/n; 19 } 20 return n; 21 } 22 int main() 23 { 24 long long a,b,c,x,y; 25 cin>>c>>a>>b; 26 long long g = exgcd(a,b,x,y); 27 if(c%g) cout<<"NO"<<endl; 28 else{ 29 30 x*=c/g; 31 y*=c/g; 32 while(x<0) x+=b/g,y-=a/g; 33 while(y<0) y+=a/g,x-=b/g; 34 if(x<0 || y<0) 35 { 36 cout<<"NO"<<endl; 37 return 0; 38 } 39 cout<<"YES"<<endl; 40 cout<<x<<" "<<y<<endl; 41 } 42 }
