图像(MxN)的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去，空间域中用x,y来表示空间坐标，频域由u,v来表示频率，二维离散傅立叶变换的公式如下：
在python中，numpy库的fft模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数，函数是fft2，输入一张灰度图，输出经过二维离散傅立叶变换后的结果，但是具体实现并不是直接用上述公式，而是用快速傅立叶变换。结果需要通过使用abs求绝对值才可以进行可视化，但是视觉效果并不理想，因为傅立叶频谱范围很大，所以要用log对数变换来改善视觉效果。
另外，图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心，所以要对fft2的结果使用fftshift函数。最后也可以使用log来改善可视化效果。
代码如下：
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 img = plt.imread(‘photo.jpg‘) 5 6 #根据公式转成灰度图 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8 9 #显示原图 10 plt.subplot(231),plt.imshow(img,‘gray‘),plt.title(‘original‘) 11 12 #进行傅立叶变换，并显示结果 13 fft2 = np.fft.fft2(img) 14 plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),‘gray‘),plt.title(‘fft2‘) 15 16 #将图像变换的原点移动到频域矩形的中心，并显示效果 17 shift2center = np.fft.fftshift(fft2) 18 plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),‘gray‘),plt.title(‘shift2center‘) 19 20 #对傅立叶变换的结果进行对数变换，并显示效果 21 log_fft2 = np.log(np.abs(fft2)) 22 plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,‘gray‘),plt.title(‘log_fft2‘) 23 24 #对中心化后的结果进行对数变换，并显示结果 25 log_shift2center = np.log(np.abs(shift2center)) 26 plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,‘gray‘),plt.title(‘log_shift2center‘)
运行结果：
根据公式实现的二维离散傅立叶变换如下：
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 PI = 3.141591265 4 img = plt.imread(‘temp.jpg‘) 5 6 #根据公式转成灰度图 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8 9 #显示原图 10 plt.subplot(131),plt.imshow(img,‘gray‘),plt.title(‘original‘) 11 12 #进行傅立叶变换，并显示结果 13 fft2 = np.fft.fft2(img) 14 log_fft2 = np.log(np.abs(fft2)) 15 plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,‘gray‘),plt.title(‘log_fft2‘) 16 17 h , w = img.shape 18 #生成一个同样大小的复数矩阵 19 F = np.zeros([h,w],‘complex128‘) 20 for u in range(h): 21 for v in range(w): 22 res = 0 23 for x in range(h): 24 for y in range(w): 25 res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w)) 26 F[u,v] = res 27 log_F = np.log(np.abs(F)) 28 plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,‘gray‘),plt.title(‘log_F‘)
直接根据公式实现实在是太慢，以至于我都不想等它跑出结果……
