1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere
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Description
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
Input
第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。
Output
有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
Sample Input
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
Sample Output
0.500 1.500
HINT
提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B
的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +
… + (an-bn)^2 )
分析
在一个n维空间中有一个球，然后求出圆心。给出了球上的n+1个点。
这n+1个点都满足到球心的距离相等。设出圆心$(a_1,a_2...a_n)$，则对于每个球上的点$(x_1,x_2...x_n)$，都有
$(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+...+(x_n-a_n)^2=r^2$
两两合并，然后得到一个线性方程，利用高斯消元即可。
code
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<algorithm> 4 5 using namespace std; 6 const int N = 110; 7 double a[N][N],c[N]; 8 int n; 9 10 void Gauss() { 11 for (int k=1; k<=n; ++k) { 12 // 选一行r与第i行交换 13 int r = k; 14 for (int i=k+1; i<=n; ++i) 15 if (fabs(a[i][k]) > fabs(a[r][k])) r = i; 16 if (r != k) for (int j=1; j<=n+1; ++j) swap(a[r][j],a[k][j]); 17 // 消元 18 for (int i=k+1; i<=n; ++i) { 19 double t = a[i][k] / a[k][k]; 20 for (int j=k; j<=n+1; ++j) a[i][j] -= t*a[k][j]; 21 } 22 } 23 // 回代 24 for (int i=n; i>=1; --i) { 25 for (int j=i+1; j<=n; ++j) 26 a[i][n+1] -= a[j][n+1]*a[i][j]; 27 a[i][n+1] /= a[i][i]; 28 } 29 } 30 int main () { 31 double x; 32 scanf("%d",&n); 33 for (int i=1; i<=n; ++i) 34 scanf("%lf",&c[i]); 35 for (int i=1; i<=n; ++i) 36 for (int j=1; j<=n; ++j) { 37 scanf("%lf",&x); 38 a[i][j] = (x*2-c[j]*2); 39 a[i][n+1] += (x*x-c[j]*c[j]); 40 } 41 Gauss(); 42 for (int i=1; i<n; ++i) 43 printf("%.3lf ",a[i][n+1]); 44 printf("%.3lf",a[n][n+1]); 45 return 0; 46 }
