部分 VII
摄像机标定和 3D 重构
42 摄像机标定
目标
? 学习摄像机畸变以及摄像机的内部参数和外部参数
? 学习找到这些参数，对畸变图像进行修复
42.1 基础
今天的低价单孔摄像机（照相机）会给图像带来很多畸变。畸变主要有两种：径向畸变和切想畸变。如下图所示，用红色直线将棋盘的两个边标注出来，但是你会发现棋盘的边界并不和红线重合。所有我们认为应该是直线的也都凸出来了。你可以通过访问Distortion (optics)获得更多相关细节。
这种畸变可以通过下面的方程组进行纠正：
于此相似，另外一个畸变是切向畸变，这是由于透镜与成像平面不可能绝对平行造成的。这种畸变会造成图像中的某些点看上去的位置会比我们认为的位置要近一些。它可以通过下列方程组进行校正：
简单来说，如果我们想对畸变的图像进行校正就必须找到五个造成畸变的系数：
除此之外，我们还需要再找到一些信息，比如摄像机的内部和外部参数。
内部参数是摄像机特异的。它包括的信息有焦距（f x ,f y ），光学中心（c x ,c y ）
等。这也被称为摄像机矩阵。它完全取决于摄像机自身，只需要计算一次，以后就可以已知使用了。可以用下面的 3x3 的矩阵表示：
外部参数与旋转和变换向量相对应，它可以将 3D 点的坐标转换到坐标系统中。
在 3D 相关应用中，必须要先校正这些畸变。为了找到这些参数，我们必须要提供一些包含明显图案模式的样本图片（比如说棋盘）。我们可以在上面找到一些特殊点（如棋盘的四个角点）。我们起到这些特殊点在图片中的位置以及它们的真是位置。有了这些信息，我们就可以使用数学方法求解畸变系数。这就是整个故事的摘要了。为了得到更好的结果，我们至少需要 10 个这样的图案模式。
42.2 代码
如上所述，我们至少需要 10 图案模式来进行摄像机标定。OpenCV 自带了一些棋盘图像（/sample/cpp/left001.jpg--left14.jpg）, 所以我们可以使用它们。为了便于理解，我们可以认为仅有一张棋盘图像。重要的是在进行摄像机标定时我们要输入一组 3D 真实世界中的点以及与它们对应 2D 图像中的点。2D 图像的点可以在图像中很容易的找到。（这些点在图像中的位置是棋盘上两个黑色方块相互接触的地方）
那么真实世界中的 3D 的点呢？这些图像来源与静态摄像机和棋盘不同的摆放位置和朝向。所以我们需要知道（X，Y，Z）的值。但是为了简单，我们可以说棋盘在 XY 平面是静止的，（所以 Z 总是等于 0）摄像机在围着棋盘移动。这种假设让我们只需要知道 X，Y 的值就可以了。现在为了求 X，Y 的值，我们只需要传入这些点（0,0），（1,0），（2,0）...，它们代表了点的位置。在这个例子中，我们的结果的单位就是棋盘（单个）方块的大小。但是如果我们知道单个方块的大小（加入说 30mm），我们输入的值就可以是（0,0），（30,0），（60,0）...，结果的单位就是 mm。（在本例中我们不知道方块的大小，因为不是我们拍的，所以只能用前一种方法了）。
3D 点被称为 对象点，2D 图像点被称为 图像点。
42.2.1 设置
为了找到棋盘的图案，我们要使用函数 cv2.findChessboardCorners()。我们还需要传入图案的类型，比如说 8x8 的格子或 5x5 的格子等。在本例中我们使用的恨死 7x8 的格子。（通常情况下棋盘都是 8x8 或者 7x7）。它会返回角点，如果得到图像的话返回值类型（Retval）就会是 True。这些角点会按顺序排列（从左到右，从上到下）。
其他：这个函数可能不会找出所有图像中应有的图案。所以一个好的方法是编写代码，启动摄像机并在每一帧中检查是否有应有的图案。在我们获得图案之后我们要找到角点并把它们保存成一个列表。在读取下一帧图像之前要设置一定的间隔，这样我们就有足够的时间调整棋盘的方向。继续这个过程直到我们得到足够多好的图案。就算是我们举得这个例子，在所有的 14 幅图像中也不知道有几幅是好的。所以我们要读取每一张图像从其中找到好的能用的。
其他：除了使用棋盘之外，我们还可以使用环形格子，但是要使用函数cv2.findCirclesGrid() 来找图案。据说使用环形格子只需要很少的图像就可以了。
在找到这些角点之后我们可以使用函数 cv2.cornerSubPix() 增加准确度。我们使用函数 cv2.drawChessboardCorners() 绘制图案。所有的这些步骤都被包含在下面的代码中了：
import numpy as np import cv2 import glob # termination criteria criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001) # prepare object points, like (0,0,0), (1,0,0), (2,0,0) ....,(6,5,0) objp = np.zeros((6*7,3), np.float32) objp[:,:2] = np.mgrid[0:7,0:6].T.reshape(-1,2) # Arrays to store object points and image points from all the images. objpoints = [] # 3d point in real world space imgpoints = [] # 2d points in image plane. images = glob.glob(‘*.jpg‘) for fname in images: img = cv2.imread(fname) gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY) # Find the chess board corners ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (7,6),None) # If found, add object points, image points (after refining them) if ret == True: objpoints.append(objp) corners2 = cv2.cornerSubPix(gray,corners,(11,11),(-1,-1),criteria) imgpoints.append(corners2) # Draw and display the corners img = cv2.drawChessboardCorners(img, (7,6), corners2,ret) cv2.imshow(‘img‘,img) cv2.waitKey(500) cv2.destroyAllWindows()
一副图像和被绘制在上边的图案：
42.2.2 标定
在得到了这些对象点和图像点之后，我们已经准备好来做摄像机标定了。
我们要使用的函数是 cv2.calibrateCamera()。它会返回摄像机矩阵，畸变系数，旋转和变换向量等。
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1],None,None)
42.2.3 畸变校正
现在我们找到我们想要的东西了，我们可以找到一幅图像来对他进行校正了。OpenCV 提供了两种方法，我们都学习一下。不过在那之前我们可以使用从函数 cv2.getOptimalNewCameraMatrix() 得到的自由缩放系数对摄像机矩阵进行优化。如果缩放系数 alpha = 0，返回的非畸变图像会带有最少量的不想要的像素。它甚至有可能在图像角点去除一些像素。如果 alpha = 1，所有的像素都会被返回，还有一些黑图像。它还会返回一个 ROI 图像，我们可以用来对结果进行裁剪。
我们读取一个新的图像（left2.ipg）
img = cv2.imread(‘left12.jpg‘) h, w = img.shape[:2] newcameramtx, roi=cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx,dist,(w,h),1,(w,h))
使用 cv2.undistort() 这是最简单的方法。只需使用这个函数和上边得到的 ROI 对结果进行裁剪。
# undistort dst = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, newcameramtx) # crop the image x,y,w,h = roi dst = dst[y:y+h, x:x+w] cv2.imwrite(‘calibresult.png‘,dst)
使用 remapping 这应该属于“曲线救国”了。首先我们要找到从畸变图像到非畸变图像的映射方程。再使用重映射方程。
# undistort mapx,mapy = cv2.initUndistortRectifyMap(mtx,dist,None,newcameramtx,(w,h),5) dst = cv2.remap(img,mapx,mapy,cv2.INTER_LINEAR) # crop the image x,y,w,h = roi dst = dst[y:y+h, x:x+w] cv2.imwrite(‘calibresult.png‘,dst)
这两中方法给出的结果是相同的。结果如下所示：
你会发现结果图像中所有的边界都变直了。
现在我们可以使用 Numpy 提供写函数（np.savez，np.savetxt 等）
将摄像机矩阵和畸变系数保存以便以后使用。
42.3 反向投影误差
我们可以利用反向投影误差对我们找到的参数的准确性进行估计。得到的结果越接近 0 越好。有了内部参数，畸变参数和旋转变换矩阵，我们就可以使用 cv2.projectPoints() 将对象点转换到图像点。然后就可以计算变换得到图像与角点检测算法的绝对差了。然后我们计算所有标定图像的误差平均值。
mean_error = 0 for i in xrange(len(objpoints)): imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist) error = cv2.norm(imgpoints[i],imgpoints2, cv2.NORM_L2)/len(imgpoints2) tot_error += error print "total error: ", mean_error/len(objpoints)
43 姿势估计
目标
? 本节我们要学习使用 calib3D 模块在图像中创建 3D 效果
43.1 基础
在上一节的摄像机标定中，我们已经得到了摄像机矩阵，畸变系数等。有了这些信息我们就可以估计图像中图案的姿势，比如目标对象是如何摆放，如何旋转等。对一个平面对象来说，我们可以假设 Z=0，这样问题就转化成摄像机在空间中是如何摆放（然后拍摄）的。所以，如果我们知道对象在空间中的姿势，我们就可以在图像中绘制一些 2D 的线条来产生 3D 的效果。我们来看一下怎么做吧。
我们的问题是，在棋盘的第一个角点绘制 3D 坐标轴（X，Y，Z 轴）。X轴为蓝色，Y 轴为绿色，Z 轴为红色。在视觉效果上来看，Z 轴应该是垂直与棋盘平面的。
首先我们要加载前面结果中摄像机矩阵和畸变系数。
import cv2 import numpy as np import glob # Load previously saved data with np.load(‘B.npz‘) as X: mtx, dist, _, _ = [X[i] for i in (‘mtx‘,‘dist‘,‘rvecs‘,‘tvecs‘)]
现在我们来创建一个函数：draw，它的参数有棋盘上的角点（使用cv2.findChessboardCorners() 得到）和要绘制的 3D 坐标轴上的点。
def draw(img, corners, imgpts): corner = tuple(corners[0].ravel()) img = cv2.line(img, corner, tuple(imgpts[0].ravel()), (255,0,0), 5) img = cv2.line(img, corner, tuple(imgpts[1].ravel()), (0,255,0), 5) img = cv2.line(img, corner, tuple(imgpts[2].ravel()), (0,0,255), 5) return img
和前面一样，我们要设置终止条件，对象点（棋盘上的 3D 角点）和坐标轴点。3D 空间中的坐标轴点是为了绘制坐标轴。我们绘制的坐标轴的长度为3。所以 X 轴从（0,0,0）绘制到（3,0,0），Y 轴也是。Z 轴从（0,0,0）绘制到（0,0,-3）。负值表示它是朝着（垂直于）摄像机方向。
criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001) objp = np.zeros((6*7,3), np.float32) objp[:,:2] = np.mgrid[0:7,0:6].T.reshape(-1,2) axis = np.float32([[3,0,0], [0,3,0], [0,0,-3]]).reshape(-1,3)
很通常一样我们需要加载图像。搜寻 7x6 的格子，如果发现，我们就把它优化到亚像素级。然后使用函数:cv2.solvePnPRansac() 来计算旋转和变换。但我们有了变换矩阵之后，我们就可以利用它们将这些坐标轴点映射到图像平面中去。简单来说，我们在图像平面上找到了与 3D 空间中的点（3,0,0）,(0,3,0),(0,0,3) 相对应的点。然后我们就可以使用我们的函数 draw() 从图像上的第一个角点开始绘制连接这些点的直线了。搞定！！！
for fname in glob.glob(‘left*.jpg‘): img = cv2.imread(fname) gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY) ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (7,6),None) if ret == True: corners2 = cv2.cornerSubPix(gray,corners,(11,11),(-1,-1),criteria) # Find the rotation and translation vectors. rvecs, tvecs, inliers = cv2.solvePnPRansac(objp, corners2, mtx, dist) # project 3D points to image plane imgpts, jac = cv2.projectPoints(axis, rvecs, tvecs, mtx, dist) img = draw(img,corners2,imgpts) cv2.imshow(‘img‘,img) k = cv2.waitKey(0) & 0xff if k == ‘s‘: cv2.imwrite(fname[:6]+‘.png‘, img) cv2.destroyAllWindows()
结果如下，看到了吗，每条坐标轴的长度都是 3 个格子的长度。
43.1.1 渲染一个立方体
如果你想绘制一个立方体的话要对 draw() 函数进行如下修改：
修改后的 draw() 函数：
def draw(img, corners, imgpts): imgpts = np.int32(imgpts).reshape(-1,2) # draw ground floor in green img = cv2.drawContours(img, [imgpts[:4]],-1,(0,255,0),-3) # draw pillars in blue color for i,j in zip(range(4),range(4,8)): img = cv2.line(img, tuple(imgpts[i]), tuple(imgpts[j]),(255),3) # draw top layer in red color img = cv2.drawContours(img, [imgpts[4:]],-1,(0,0,255),3) return img
修改后的坐标轴点。它们是 3D 空间中的一个立方体的 8 个角点：
axis = np.float32([[0,0,0], [0,3,0], [3,3,0], [3,0,0],
[0,0,-3],[0,3,-3],[3,3,-3],[3,0,-3] ])
结果如下：
如果你对计算机图形学感兴趣的话，为了增加图像的真实性，你可以使用OpenGL 来渲染更复杂的图形。（下一个目标）
44 对极几何（Epipolar Geometry ）
目标
? 本节我们要学习多视角几何基础
? 学习什么是极点，极线，对极约束等
44.1 基本概念
在我们使用针孔相机时，我们会丢失大量重要的信心，比如说图像的深度，或者说图像上的点和摄像机的距离，因这是一个从 3D 到 2D 的转换。因此一个重要的问题就产生了，使用这样的摄像机我们能否计算除深度信息呢？答案就是使用多个相机。我们的眼睛就是这样工作的，使用两个摄像机（两个眼睛），这被称为立体视觉。我们来看看 OpenCV 在这方面给我们都提供了什么吧。
（《学习 OpenCV》一书有大量相关知识。）
在进入深度图像之前，我们要先掌握一些多视角几何的基本概念。在本节中我们要处理对极几何。下图为使用两台摄像机同时对一个一个场景进行拍摄的示意图。
如果只是用一台摄像机我们不可能知道 3D 空间中的 X 点到图像平面的距离，因为 OX 连线上的每个点投影到图像平面上的点都是相同的。但是如果我们也考虑上右侧图像的话，直线 OX 上的点将投影到右侧图像上的不同位置。
所以根据这两幅图像，我们就可以使用三角测量计算出 3D 空间中的点到摄像机的距离（深度）。这就是整个思路。
直线 OX 上的不同点投射到右侧图像上形成的线 l
′
被称为与 x 点对应的极
线
极
线。也就是说，我们可以在右侧图像中沿着这条极线找到 x 点。它可能在这条直线上某个位置（这意味着对两幅图像间匹配特征的二维搜索就转变成了沿着极线的一维搜索。这不仅节省了大量的计算，还允许我们排除许多导致虚假匹配的点）。这被称为 对极约束。与此相同，所有的点在其他图像中都有与之对应的极线。平面 XOO‘ 被称为 对极平面。
O 和 O‘ 是摄像机的中心。从上面的示意图可以看出，右侧摄像机的中心O‘ 投影到左侧图像平面的 e 点，这个点就被称为 极点。极点就是摄像机中心连线与图像平面的交点。因此点 e‘ 是左侧摄像机的极点。有些情况下，我们可能不会在图像中找到极点，它们可能落在了图像之外（这说明这两个摄像机不能拍摄到彼此）。
所有的极线都要经过极点。所以为了找到极点的位置，我们可以先找到多条极线，这些极线的交点就是极点。
本节我们的重点就是找到极线和极点。为了找到它们，我们还需要两个元素， 本征矩阵（E ）和 基础矩阵（F ）。本征矩阵包含了物理空间中两个摄像机相关的旋转和平移信息。如下图所示（本图来源自：学习 OpenCV）
基础矩阵 F 除了包含 E 的信息外还包含了两个摄像机的内参数。由于 F包含了这些内参数，因此它可以它在像素坐标系将两台摄像机关联起来。（如果使用是校正之后的图像并通过除以焦距进行了归一化，F=E）。简单来说，基础矩阵 F 将一副图像中的点映射到另一幅图像中的线（极线）上。这是通过匹配两幅图像上的点来实现的。要计算基础矩阵至少需要 8 个点（使用 8 点算法）。点越多越好，可以使用 RANSAC 算法得到更加稳定的结果。
44.2 代码
为了得到基础矩阵我们应该在两幅图像中找到尽量多的匹配点。我们可以使用 SIFT 描述符，FLANN 匹配器和比值检测。
import cv2 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt img1 = cv2.imread(‘myleft.jpg‘,0) #queryimage # left image img2 = cv2.imread(‘myright.jpg‘,0) #trainimage # right image sift = cv2.SIFT() # find the keypoints and descriptors with SIFT kp1, des1 = sift.detectAndCompute(img1,None) kp2, des2 = sift.detectAndCompute(img2,None) # FLANN parameters FLANN_INDEX_KDTREE = 0 index_params = dict(algorithm = FLANN_INDEX_KDTREE, trees = 5) search_params = dict(checks=50) flann = cv2.FlannBasedMatcher(index_params,search_params) matches = flann.knnMatch(des1,des2,k=2) good = [] pts1 = [] pts2 = [] # ratio test as per Lowe‘s paper for i,(m,n) in enumerate(matches): if m.distance < 0.8*n.distance: good.append(m) pts2.append(kp2[m.trainIdx].pt) pts1.append(kp1[m.queryIdx].pt)
现在得到了一个匹配点列表，我们就可以使用它来计算基础矩阵了。
pts1 = np.int32(pts1) pts2 = np.int32(pts2) F, mask = cv2.findFundamentalMat(pts1,pts2,cv2.FM_LMEDS) # We select only inlier points pts1 = pts1[mask.ravel()==1] pts2 = pts2[mask.ravel()==1]
下一步我们要找到极线。我们会得到一个包含很多线的数组。所以我们要定义一个新的函数将这些线绘制到图像中。
def drawlines(img1,img2,lines,pts1,pts2): ‘‘‘ img1 - image on which we draw the epilines for the points in img2 lines - corresponding epilines ‘‘‘ r,c = img1.shape img1 = cv2.cvtColor(img1,cv2.COLOR_GRAY2BGR) img2 = cv2.cvtColor(img2,cv2.COLOR_GRAY2BGR) for r,pt1,pt2 in zip(lines,pts1,pts2): color = tuple(np.random.randint(0,255,3).tolist()) x0,y0 = map(int, [0, -r[2]/r[1] ]) x1,y1 = map(int, [c, -(r[2]+r[0]*c)/r[1] ]) img1 = cv2.line(img1, (x0,y0), (x1,y1), color,1) img1 = cv2.circle(img1,tuple(pt1),5,color,-1) img2 = cv2.circle(img2,tuple(pt2),5,color,-1) return img1,img2
现在我们两幅图像中计算并绘制极线。
# Find epilines corresponding to points in right image (second image) and # drawing its lines on left image lines1 = cv2.computeCorrespondEpilines(pts2.reshape(-1,1,2), 2,F) lines1 = lines1.reshape(-1,3) img5,img6 = drawlines(img1,img2,lines1,pts1,pts2) # Find epilines corresponding to points in left image (first image) and # drawing its lines on right image lines2 = cv2.computeCorrespondEpilines(pts1.reshape(-1,1,2), 1,F) lines2 = lines2.reshape(-1,3) img3,img4 = drawlines(img2,img1,lines2,pts2,pts1) plt.subplot(121),plt.imshow(img5) plt.subplot(122),plt.imshow(img3) plt.show()
下面是我得到的结果：
从上图可以看出所有的极线都汇聚以图像外的一点，这个点就是极点。为了得到更好的结果，我们应该使用分辨率比较高的图像和 non-planar点。
45 立体图像中的深度地图
目标
? 本节我们要学习为立体图像制作深度地图
45.1 基础
在上一节中我们学习了对极约束的基本概念和相关术语。如果同一场景有两幅图像的话我们在直觉上就可以获得图像的深度信息。下面是的这幅图和其中的数学公式证明我们的直觉是对的。（图像来源 image courtesy）
The above diagram contains equivalent triangles. Writing their
equivalent equations will yield us following result:
x 和 x‘ 分别是图像中的点到 3D 空间中的点和到摄像机中心的距离。B 是这两个摄像机之间的距离，f 是摄像机的焦距。上边的等式告诉我们点的深度与x 和 x‘ 的差成反比。所以根据这个等式我们就可以得到图像中所有点的深度图。
这样就可以找到两幅图像中的匹配点了。前面我们已经知道了对极约束可以使这个操作更快更准。一旦找到了匹配，就可以计算出 disparity 了。让我们看看在 OpenCV 中怎样做吧。
45.2 代码
下面的代码显示了构建深度图的简单过程。
import numpy as np import cv2 from matplotlib import pyplot as plt imgL = cv2.imread(‘tsukuba_l.png‘,0) imgR = cv2.imread(‘tsukuba_r.png‘,0) stereo = cv2.createStereoBM(numDisparities=16, blockSize=15) disparity = stereo.compute(imgL,imgR) plt.imshow(disparity,‘gray‘) plt.show()
下图左侧为原始图像，右侧为深度图像。如图所示，结果中有很大的噪音。
通过调整 numDisparities 和 blockSize 的值，我们会得到更好的结果。
