【算法专题】积性函数

【参考】

★浅谈一类积性函数的前缀和 by skywalkert

任之洲数论函数.pdf

【积性函数】

积性函数的约数和，前缀和，相互卷积也是积性函数。

1.f(1)=1。

2.性质一：对于n=∏pi^ki，有f(n)=∏f(pi^ki)

性质二：对于完全积性函数，还有f(n)=∏f(pi)^ki以及f(n^k)=f(n)^k

常见的积性函数：

1.d(n)=Σ_d|n1，表示n的因子个数，即d=i*i

2.σ(n)=Σd|nd，表示n的因子和，即σ=i*id

3.i(n)=1，恒等函数

4.id(n)=n，单位函数

5.e(n)=[n=1]，元函数，即f=f*e

6.φ(n)=Σ[(n,i)=1]*1，欧拉函数

7.μ(n)，莫比乌斯函数，μ(n)=(-1)^k，k为n的素因子个数，有重复素因子时μ=0

【狄利克雷卷积】

定义两个数论函数f,g的狄利克雷卷积：(f*g)(n)=Σ_d|nf(d)*g(n/d)。

1.莫比乌斯函数，e(n)=Σ_d|nμ(d)，即e=μ*i。

莫比乌斯反演，由g=f*i，得f=g*μ。

证明：f=g*μ=f*i*μ=f*e=f。

即由g(n)=Σ_d|nf(d)，得f(n)=Σ_d|ng(d)*μ(n/d)。

类似的，由g(n)=Σ_n|df(d)，得f(n)=Σ_n|dg(d)*μ(d/n)。

2.欧拉函数，n=Σd|nφ(d)，即id=φ*i。

由反演得，φ=id*μ，即φ(n)/n=Σ_d|nμ(d)/d。

【和式Σ变换技巧】

基本法则（具体数学）：

1.分配律，Σ_kc*a_k=c*Σ_ka_k，即提出与Σ无关的乘数。

2.结合律，将相邻Σ的条件结合或分离。

3.交换律，即Σ的枚举可以改变顺序。

4.一般分配律，Σ_j,ka_j*b_k=(Σa_j)*(Σb_k)

5.多重交换律，当相邻Σ枚举域相关时，需满足：

[j∈J][k∈K(j)]=[k∈K‘][j∈J‘(k)]

通常J=K‘是所有整数集合，第二重根据操控二重和式性质的p(j,k)推出。

6.换元，即更换Σ的枚举元。

7.艾弗森约定，即将Σ底端限制变成条件，如Σ_i∈Ii=Σi*[i∈I]。

简化技巧：

1.