双数组Trie树中叶子结点check[t]=t的证明

双数组Trie树，其实就是用两个一维数组来表示Trie树这种数据结构。

一个数组称为BASE，另一个数组为CHECK。转移条件如下：

对于状态s，接收字符c，转移到状态t

BASE[s]+c=t
CHECK[t]=BASE[s]

1. BASE数组保存结点的基地址
2. CHECK数组标识结点的前驱信息

对于根结点，定义：

根结点的状态为0，\(t_根=0\)

根结点的基地址为1，放在BASE数组下标为0处保存，故\(BASE[t_根]=BASE[0]=1\)。

\(CHECK[t_根]=CHECK[0]=0\)

对于Trie树中的一个结点nodeA，有如下信息：

• 字符‘A‘，这是给人看的
• 字符‘A‘的状态，用\(t_A\)来表示，\(t_A\)是一个整数。从根结点，经过条件 ‘A‘ 转移到nodeA，即：\(BASE[0]+code(A)=t_A=1+65=66\)，其中code(A)一般为该字符的ASCII码。
• 字符‘A‘的基地址，使用BASE数组来保存
• 由于字符‘A‘对应的结点nodeA的前驱是根结点，即\(CHECK[t_A]=BASE[0]=1\)

对于叶子结点node_leaf，定义该叶子结点的基地址为begin，状态为t_leaf， code(node_leaf)=0，

现在来证明：CHECK[t_leaf]=t_leaf

1. begin+code(node_leaf)=t_leaf 得到：begin=t_leaf
2. BASE[begin+code(node_leaf)]=t_leaf 得到：BASE[begin]=t_leaf
3. CHECK[t_leaf]=BASE[begin] 得到：CHECK[t_leaf]=t_leaf

其中，第2、3点是由转移条件得到的，证明完毕。

另外，在Hancks的这篇文章中，有如下引用：

3、然后将这群兄弟节点的check设为check[begin + a1…an] = begin;很显然，叶子节点i的check[i]的值一定等于i，因为它是兄弟节点中的第一个，并且它的code为0。

就好理解了。
另外，对于叶子结点而言，BASE[t_leaf]=-index，参考，其中 -index 表示：该叶子结点所代表的 关键词 在词典中顺序。（当构造双数组树时，词典先加载到TreeMap中，是有序的）