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[APIO2014]序列分割

时间:2018-03-26 20:50:24      阅读:261      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:mod   show   turn   童鞋   namespace   fine   eps   name   连续   

题面在这里

题意

将一个长度为\(n\)的序列分成\(k\)段,每次分割一段长度\(\ge 2\)的序列,
得分为两边序列元素和的乘积,求最大得分

数据范围

\[2\leq n\leq100000,1\leq k\leq\min\{n-1,200\},0≤a[i]≤10^4\]

sol

我们发现一对元素\((i,j)\)产生贡献\(a[i]a[j]\)的条件是分割后元素不在同一段里
于是我们知道一对元素产生是否产生贡献分割顺序无关
那么这道题就变成了序列分段问题
\(f[i][k]\)表示\([1,i]\)的序列被分为\(k\)段的最大贡献,\(s[i]=\sum_{j=1}^{i}a[j]\),有
\[f[i][k]=max_{j=0}^{i-1}(f[j][k-1]-s[j]^2+s[i]s[j])\]
此时可以斜率优化维护上凸包
插点\((s[i],f[i][k-1]-s[i]^2)\),询问\(k_i=-s[i]\)
由于斜率单调递减,同样是可做的

然而这里有另外一种思路
如果把长度为\(n\)的序列分为\(n-1\)段,
由上可知得分为\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[i!=j]a[i]a[j]\)
而当一对元素\((i,j)\)不产生贡献\(a[i]a[j]\)时,他们在同一段里
于是我们可以求反贡献的最小值,即对于每一连续段\([i,j]\)
其反贡献为\(\sum_{k=i}^{j}\sum_{l=i}^{j}[k!=l]a[k]a[l]\)
那么这题可能可以用区间DP做?我还是老老实实写斜率DP吧

\(f[i][k]\)表示\([1,i]\)的序列被分为\(k\)段的最小反贡献,\(t[i]=\sum_{j=1}^{i}a[j]^2\),有
\[f[i][k]=min_{j=0}^{i-1}[f[j][k-1]+\frac{1}{2}((s[i]-s[j])^2-(t[i]-t[j]))]\]
\[=min_{j=0}^{i-1}(f[j][k-1]+\frac{1}{2}(s[i]^2+s[j]^2-2s[i]s[j]-t[i]+t[j]))\]
\[=min_{j=0}^{i-1}(f[j][k-1]+\frac{1}{2}(s[j]^2+t[j])-s[i]s[j])+\frac{1}{2}(s[i]^2-t[i])\]
那么我们用普通的斜率优化插点\((s[j],f[j][k-1]+\frac{1}{2}(s[j]^2+t[j]))\)
(注意插点顺序),询问\(k_i=s[i]\)即可,
最后答案为\(\frac{1}{2}(s[n]^2-t[n])-f[n][k+1]\)

小细节:
(1)
该题可以先枚举\(k\)然后枚举\(i\)一层一层做,
或者维护\(k+1\)个凸包,然后倒着插点(!!!)
(2)
该题既可以通过维护上凸包求最大值,
也可以通过维护下凸包求最小值
(3)
注意题中\(a[i]\ge0\),因此\(dx\)有可能为0,直接算斜率的童鞋们要注意啦

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pub push_back
#define puf push_front
#define pob pop_back
#define pof pop_front
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=100010;
const int K=202;
il ll read(){
    RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
    while(ch!=‘-‘&&(ch<‘0‘||ch>‘9‘))ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)w=-1,ch=getchar();
    while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘)data=data*10+ch-48,ch=getchar();
    return data*w;
}

il void file(){
    freopen(".in","r",stdin);
    freopen(".out","w",stdout);
}

struct node{ll x,y;};deque<node>Q[K];
ll n,k,a[N],s[N],t[N],f[N][K];
il void insert(ll t,node q){
    while(Q[t].size()>=2&&(Q[t][Q[t].size()-1].y-Q[t][Q[t].size()-2].y)*(q.x-Q[t][Q[t].size()-1].x)>=(Q[t][Q[t].size()-1].x-Q[t][Q[t].size()-2].x)*(q.y-Q[t][Q[t].size()-1].y))
        Q[t].pob();
    Q[t].pub(q);
}

il ll query(ll t,ll k){
    while(Q[t].size()>=2&&k*(Q[t][1].x-Q[t][0].x)>=(Q[t][1].y-Q[t][0].y))
        Q[t].pof();
    return Q[t].front().y-k*Q[t].front().x;
}

VI sol;
il void print(int i,int j){
    if(j==1)return;
    for(RG int k=i-1;~k;--k)
        if(f[k][j-1]+((s[i]-s[k])*(s[i]-s[k])-(t[i]-t[k]))/2==f[i][j]){
            sol.pub(k);print(k,j-1);return;
        }
}

int main()
{
    n=read();k=read();
    for(RG int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        s[i]=s[i-1]+a[i];
        t[i]=t[i-1]+a[i]*a[i];
    }
    for(RG int i=0;i<=k;++i)insert(i,(node){0,0});  
    for(RG int i=1;i<=n;i++){
        for(RG int j=min((ll)i,k+1);j;--j){
            f[i][j]=query(j-1,s[i])+(s[i]*s[i]-t[i])/2;
            insert(j,(node){s[i],f[i][j]+(s[i]*s[i]+t[i])/2});
        }
    }
    
    printf("%lld\n",(s[n]*s[n]-t[n])/2-f[n][k+1]);
    print(n,k+1);
    for(RG int i=sol.size()-1;~i;--i)
        printf("%d ",sol[i]);
    return 0;
}

最后鸣谢大佬yyb

[APIO2014]序列分割

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原文地址:https://www.cnblogs.com/cjfdf/p/8653087.html

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