- 题意：
一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\)，和 \(m\) 个询问。每次询问有 \(4\) 个参数分别为 \(a,b,c,d\)。
要你告诉它 \(s[a...b]\) 中的所有子串 和 \(s[c...d]\) 的 最长公共前缀 \((\mathrm{LCP})\) 的最大值。
\((1<=n,m<=10^5, a<=b,c<=d,1<=a,b,c,d<=n)\)
- 题解：
一开始看错了题 以为是 \([a,b]\) 中所有子串 和 \([c,d]\) 中所有子串的 \(\mathrm{LCP}\) 这怎么能做啊！！！
仔细观察了一下 发现是 \([a,b]\) 的所有子串 和 \([c,d]\) 。。。。
那么题目就变 简单 了一点。。。
首先我们考虑与 \([c,d]\) 有最长 \(\mathrm{LCP}\) 的在哪里
不难发现 就是后缀排序后 \(rk[i]\) 与 \(rk[c]\) 最靠近的 \(i\) 。
那么我们可以转化求 \([a,b]\) 中的这个 \(i\) 就行了qwq
答案表示出来大概是这样子的。
我们令 \[\displaystyle \mathrm{RMQ}(a,b,c)=\min_{i=\min(a,b)+1}^{\max(a,b)} c[i]\]
然后就有 \[\displaystyle \mathrm{ans}=\min(d-c+1,\max_{i=a}^{b} \{\min(\mathrm{RMQ}(rk[i],rk[c],height),b-i+1)\})\]
我们发现 直接求这个 \(i\) 会被后面的 \(b-i+1\) 限制掉 所以不能直接这样求
但我们可以考虑转化一下 我们考虑 二分答案 如果判断一个答案是否存在就容易一些了
我们考虑二分这个长度 假设是 \(len\) 那么前面的 \(i\) 就只能存在于 \([a,b-len+1]\) 这个区间内
然后看 \(rk[c]\) 周围连续的 \(height[q]\ge len\) 可以延伸到哪个范围 这个东西 直接用 \(\mathrm{ST}\) 表 可以实现
怎么实现呢 类似于树上倍增时候的思想 就是把那段距离看成一串二进制 然后从高到低去消掉一个个数就行了
得到这个区间 \([sl,sr]\) 后 我们就需要查找里面是否存在 \([a,b-len+1]\) 的元素 这个东西就直接上 主席树 就行了
最后时间复杂度就是 \(O(n \log^2 n)\) 咯（令 \(n,q\) 同级）
思路就很清晰了 但是代码就一点也不好写。。。 先挂出来吧。。
- 代码：
/**************************************************************
Problem: 4556
User: zjp_shadow
Language: C++
Result: Time_Limit_Exceed
****************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == ‘-‘) fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("4556.in", "r", stdin);
freopen ("4556.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 2e6 + 1e3;
struct Suffix_Array {
int sa[N], tmp[N], rk[N], n, m, c[N];
char str[N];
void Init(int n, char bas[]) { this -> n = n; Cpy(str, bas); }
inline void Radix_Sort() {
For (i, 1, m) c[i] = 0;
For (i, 1, n) ++ c[rk[i]];
For (i, 1, m) c[i] += c[i - 1];
Fordown (i, n, 1) sa[c[rk[tmp[i]]] --] = tmp[i];
}
inline void Build_Sa() {
For (i, 1, n) rk[i] = str[i], tmp[i] = i;
m = 255; Radix_Sort();
for (register int k = 1, p; k <= n; k <<= 1) {
p = 0;
For (i, n - k + 1, n) tmp[++ p] = i;
For (i, 1, n) if (sa[i] > k) tmp[++ p] = sa[i] - k;
Radix_Sort(); swap(rk, tmp);
rk[sa[1]] = 1, m = 1;
For (i, 2, n) rk[sa[i]] = (tmp[sa[i]] == tmp[sa[i - 1]] && tmp[sa[i] + k] == tmp[sa[i - 1] + k]) ? m : ++ m;
if (m >= n) return ;
}
}
int height[N];
inline void Get_Height() {
for (int i = 1, j, k = 0; i <= n; ++ i) {
if (k) -- k;
j = sa[rk[i] - 1];
while (str[i + k] == str[j + k]) ++ k;
height[rk[i]] = k;
}
}
} SA;
struct Chairman_Tree {
int ls[N], rs[N], tot[N], Size, rt[N];
void Insert(int &o, int pre, int l, int r, int up) {
o = ++ Size; ls[o] = ls[pre]; rs[o] = rs[pre];
tot[o] = tot[pre] + 1; if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
if (up <= mid) Insert(ls[o], ls[pre], l, mid, up);
else Insert(rs[o], rs[pre], mid + 1, r, up);
}
bool Query(int s, int t, int l, int r, int ql, int qr) {
int now = tot[t] - tot[s];
if (!now) return false;
if (ql <= l && r <= qr) return true;
int mid = (l + r) >> 1;
if (ql <= mid && Query(ls[s], ls[t], l, mid, ql, qr)) return true;
if (qr > mid && Query(rs[s], rs[t], mid + 1, r, ql, qr)) return true;
return false;
}
} CT;
struct Sparse_Table {
int minv[N][20], Log[N];
void Build(int n, int a[]) {
For (i, 1, n)
minv[i][0] = a[i], Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
For (j, 1, Log[n])
For (i, 1, n - (1 << j) + 1)
minv[i][j] = min(minv[i][j - 1], minv[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
} ST1, ST2;
int n, m;
inline bool Check(int len, int a, int b, int c, int d) {
int sl = SA.rk[c], sr = SA.rk[c];
Fordown (i, ST2.Log[sl], 0)
if (ST2.minv[n - sl + 1][i] >= len) sl -= (1 << i);
Fordown (i, ST1.Log[n - sr + 1], 0)
if (ST1.minv[sr + 1][i] >= len) sr += (1 << i);
int ql = a, qr = b - len + 1;
return CT.Query(CT.rt[ql - 1], CT.rt[qr], 1, n, sl, sr);
}
inline int Get_Ans(int a, int b, int c, int d) {
int l = 1, r = min(b - a + 1, d - c + 1), ans = 0;
while (l <= r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if (Check(mid, a, b, c, d)) l = mid + 1, ans = mid;
else r = mid - 1;
}
return ans;
}
int val1[N], val2[N];
char str[N];
int main () {
File();
n = read(); m = read();
scanf ("%s", str + 1);
SA.Init(n, str);
SA.Build_Sa();
SA.Get_Height();
For (i, 1, n) {
CT.Insert(CT.rt[i], CT.rt[i - 1], 1, n, SA.rk[i]);
val1[i] = val2[n - i + 1] = SA.height[i];
}
ST1.Build(n, val1);
ST2.Build(n, val2);
For (i, 1, m) {
int a = read(), b = read(), c = read(), d = read();
printf ("%d\n", Get_Ans(a, b, c, d));
}
//cerr << (double) clock() /CLOCKS_PER_SEC << endl;
return 0;
}- 彩蛋：
细心的读者肯定发现了 这个代码的 result 是 \(\mathrm{TLE}\) 2333
为什么呢 本人常数巨大啊！！！
但这份代码交到 \(luogu\) 上不开 \(O2\) 是 8000ms 开了是 4000ms
我突然想看看别人怎么写的 然后查找一波最优解 诶 有个叫 yyb_test 的神犇 只要 400ms
我仔细翻阅了一波大佬的代码 惊了 这不是暴力吗！！！
这才有了我现在的标题 （后缀数组 + 暴力）
我们继续考虑之前答案的那个式子
\[\displaystyle \mathrm{ans}=\min(d-c+1,\max_{i=a}^{b} \{\min(\mathrm{RMQ}(rk[i],rk[c],height),b-i+1)\})\]
我们如何考虑呢 我们考虑向 \(rk[c]\) 前后去扫一下得到答案
其中如果此处 \(sa[i]\) 在 \([a,b]\) 之中的话我们就计入答案就行了。
然后就有一个史诗级优化 就是当前扫的 \(height\) 的 \(\min\) 值 如果小于当前最优 \(\mathrm{ans}\)
我们就可以轻易退出循环啦 这由于数据较为随机 所以 \(height\) 就比较降的比较快 所以就比较快了qwq
理论 时间复杂度 \(O(nq)\) 实际（随机数据） 时间复杂度 \(O(\frac{\mathrm{std}}{10})\) 23333
放个对比图2333
- Brute_Force 代码（显然好写多了233）：
/**************************************************************
Problem: 4556
User: zjp_shadow
Language: C++
Result: Accepted
Time:1768 ms
Memory:59916 kb
****************************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == ‘-‘) fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("4556.in", "r", stdin);
freopen ("4556.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 2e6 + 1e3;
struct Suffix_Array {
int sa[N], tmp[N], rk[N], n, m, c[N];
char str[N];
void Init(int n, char bas[]) { this -> n = n; Cpy(str, bas); }
inline void Radix_Sort() {
For (i, 1, m) c[i] = 0;
For (i, 1, n) ++ c[rk[i]];
For (i, 1, m) c[i] += c[i - 1];
Fordown (i, n, 1) sa[c[rk[tmp[i]]] --] = tmp[i];
}
inline void Build_Sa() {
For (i, 1, n) rk[i] = str[i], tmp[i] = i;
m = 255; Radix_Sort();
for (register int k = 1, p; k <= n; k <<= 1) {
p = 0;
For (i, n - k + 1, n) tmp[++ p] = i;
For (i, 1, n) if (sa[i] > k) tmp[++ p] = sa[i] - k;
Radix_Sort(); swap(rk, tmp);
rk[sa[1]] = 1, m = 1;
For (i, 2, n) rk[sa[i]] = (tmp[sa[i]] == tmp[sa[i - 1]] && tmp[sa[i] + k] == tmp[sa[i - 1] + k]) ? m : ++ m;
if (m >= n) return ;
}
}
int height[N];
inline void Get_Height() {
for (int i = 1, j, k = 0; i <= n; ++ i) {
if (k) -- k;
j = sa[rk[i] - 1];
while (str[i + k] == str[j + k]) ++ k;
height[rk[i]] = k;
}
}
} SA;
int n, m;
inline int Get_Ans(int a, int b, int c, int d) {
int ans = 0, len = min(b - a + 1, d - c + 1), tmp = len;
Fordown (i, SA.rk[c], 1) {
if (SA.sa[i] >= a && SA.sa[i] <= b)
chkmax(ans, min(tmp, b - SA.sa[i] + 1));
chkmin(tmp, SA.height[i]);
if (tmp <= ans) break;
}
tmp = len;
For (i, SA.rk[c] + 1, n) {
chkmin(tmp, SA.height[i]);
if (tmp <= ans) break;
if (SA.sa[i] >= a && SA.sa[i] <= b)
chkmax(ans, min(tmp, b - SA.sa[i] + 1));
}
return ans;
}
int val1[N], val2[N];
char str[N];
int main () {
File();
n = read(); m = read();
scanf ("%s", str + 1);
SA.Init(n, str);
SA.Build_Sa();
SA.Get_Height();
For (i, 1, m) {
int a = read(), b = read(), c = read(), d = read();
printf ("%d\n", Get_Ans(a, b, c, d));
}
//cerr << (double) clock() /CLOCKS_PER_SEC << endl;
return 0;
}