先上一道题目：

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某一个数加上x

2. 求出某区间每一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出样例#1：

14
16

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10
对于70%的数据：N<=10000，M<=10000
对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

想暴力过？不存在的（底层优化不敢说）。于是，我们需要一种数据结构来进行优化。

树状数组

如果我们有一个数组\(a\)，我们可以构造一个数组\(C\),使\(C[i]=a[i-2^k+1]+\cdots+a[i]\)，\(k\)为\(i\)在二进制下末尾\(0\)的个数。

这其实是一个绝妙的想法，因为\(x\)对应的\(2^k\)是十分好求的，我们称求\(2^k\)的函数为lowbit：

inline LL lowbit(LL x)
{
    return x&(-x);
}

为什么呢？

首先，我们先来看看什么是补码：

一个数字的补码就是将该数字作比特反相运算（即反码），再将结果加1。在补码系统中，一个负数就是用其对应正数的补码来表示。
如:+8是00001000，而-8就是~8+1=11110111+1=11111000

如果\(x\)的二进制位末尾有\(k\)个\(0\)，那么在取时，它们都会变成\(1\)，加\(1\)之后，又都变成了\(0\)。又因为\(x\)的二进制位末尾只有\(k\)个\(0\)，故第\(k+1\)位一定是\(1\)，取反后变成\(0\)，加\(1\)后，由于进位，又变成了\(1\)，进位由此停止。与是，这两个数的二进制位上，除了第\(k+1\)位，其余应该都至少有一个是\(0\)（\(k\)以前的为上补码一定是\(0\)，可以后的位上有于取反，必定一位是\(0\)，一位是\(1\)）。由此可知，得到的答案是\(2^k\)。

其实，C数组就是一棵树状数组。

树状数组的结构如下图所示：

单点修改

代码

inline void add(LL pla,LL num)
{
    for(; pla<=n; pla+=lowbit(pla))a[pla]+=num;
}

查询

模板

typedef long long LL;

class bit
{
        LL a[500005];
        inline LL lowbit(LL x)
        {
            return x&(-x);
        }

    public:
        LL n;
        inline void add(LL pla,LL num)
        {
            for(; pla<=n; pla+=lowbit(pla))a[pla]+=num;
        }
        inline LL sum(LL pla)
        {
            LL ans=0;
            for(; pla; pla-=lowbit(pla))ans+=a[pla];
            return ans;
        }
};