今天考试的时候果然题目太难于是我就放弃了……转而学习了一下最小乘积生成树。
最小乘积生成树定义：
（摘自网上一篇博文）。
我们主要解决的问题就是当k = 2时，如何获得最小的权值乘积。我们注意到一张图可以有很多棵生成树，我们将每一棵生成树的权值记为（x, y），表示第一种权值之和为x, 第二种权值之和为y. 这样，很自然联想到二维平面上的坐标，每一棵生成树即为这个平面上的一个点。我们所想要寻找的点就是x * y最小的点。这样的点在什么位置？显然，若x1 <= x2, y1 <= y2,1号点的权值必然更小。所以我们的答案只可能处于这张平面图上的凸包的下凸壳上。
于是我们找到A，B两点，一个离y轴最近，一个离x轴最近，这两个点一定是下凸壳的两个端点。之后，我们再寻找到与AB距离最远的点C，用点C 更新答案后再以AC，BC为新的边向下递归求解。此时问题来了：如何找到这一个距离最远，且在AB下方的C点呢？我们将距离转化为面积，使用叉积求解。因为要求C点在AB下方，所以得到的叉积必为负数。又因为|叉积| = 四边形面积，所以得到的叉积必然是负的值中绝对值最大的那一个，即求解出与AB构成的叉积最小的C点。
然后就开始考虑式子的转化：min (B - A) * (C - A) = (B.x - A.x) (C.x - A.x) - (C.x - A.x) (B.y - A.y); 化开这个式子，省去常数部分，我们发现所求就是（A.y - B.y）* a[i][j] - （A.x - B.x）* b[i][j] 最小。我们考虑将这个东西看做权值，就可以用Kruskal求出使这个值最小的C点了。如果是匹配的话，则将i --> j 视作匹配的权值，将权值取反（因为要求求最小）后跑KM算法获得最大权值匹配。
下面的代码是仿照着的，但觉得写的很漂亮，放在这里大家可以参考一下。感谢原本的博主~
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 1000 #define INF 99999999 int n, ans = INF, lx[maxn], ly[maxn], s[maxn], match[maxn]; int T, g[maxn][maxn], a[maxn][maxn], b[maxn][maxn]; bool visx[maxn], visy[maxn]; struct vec { int x, y; }; vec operator -(vec a, vec b) { return (vec) { b.x - a.x, b.y - a.y }; } int operator *(vec a, vec b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; } int read() { int x = 0, k = 1; char c; c = getchar(); while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘) { if(c == ‘-‘) k = -1; c = getchar(); } while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) x = x * 10 + c - ‘0‘, c = getchar(); return x * k; } struct Graph { void build(int wx, int wy) { for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) g[i][j] = - (wx * a[i][j] + wy * b[i][j]); } bool dfs(int u) { visx[u] = 1; for(int v = 1; v <= n; v ++) { if(visy[v]) continue; int tem = lx[u] + ly[v] - g[u][v]; if(!tem) { visy[v] = 1; if(!match[v] || dfs(match[v])) { match[v] = u; return 1; } } else s[v] = min(s[v], tem); } return false; } vec KM() { memset(lx, 0, sizeof(lx)), memset(ly, 0, sizeof(ly)); memset(match, 0, sizeof(match)); for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) lx[i] = max(lx[i], g[i][j]); for(int i = 1; i <= n; i ++) { memset(s, 63, sizeof(s)); while(23333) { memset(visx, 0, sizeof(visx)), memset(visy, 0, sizeof(visy)); if(dfs(i)) break; int tem = INF; for(int j = 1; j <= n; j ++) if(!visy[j]) tem = min(tem, s[j]); for(int j = 1; j <= n; j ++) if(visx[j]) lx[j] -= tem; for(int j = 1; j <= n; j ++) if(visy[j]) ly[j] += tem; else s[j] -= tem; } } vec re; re.x = 0, re.y = 0; for(int i = 1; i <= n; i ++) re.x += a[match[i]][i], re.y += b[match[i]][i]; return re; } }G; void Solve(vec A, vec B) { G.build(A.y - B.y, B.x - A.x); vec C = G.KM(); ans = min(ans, C.x * C.y); if((A - B) * (A - C) >= 0) return; Solve(A, C), Solve(C, B); } int main() { T = read(); while(T --) { n = read(); for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) a[i][j] = read(); for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= n; j ++) b[i][j] = read(); G.build(1, 0); vec A = G.KM(); G.build(0, 1); vec B = G.KM(); ans = min(A.x * A.y, B.x * B.y); Solve(A, B); printf("%d\n", ans); } return 0; }
