标签：转换 搜索 inpu strong 欧几里德 整数 include pos 补充
Description
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
分析：
开始用了暴力枚举，后来一看数据这么大，估计肯定超时，无奈上网搜索了一下，考察的是扩展欧几里德算法，还有比较大的整数_int64的处理。
设经过s步后两青蛙相遇，则必满足该等式：(x+ms)-(y+ns)=kl(k=0,1,2....)
将等式进行变形得：(n-m)s+kl=x-y
令n-m=a,k=b,x-y=c,即原式可以转换为：as+b*l=c
若上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。
首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值，看是否存在s,l的整数解，若存在则输入最小的s，但显然这种方法是不可取的，谁也不知道最小的s是多大，如果最小的s很大的话，超时是明显的。
其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决，先来看下什么是欧几里德扩展原理：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r，所以d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r，因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int Gcd(int a, int b)
{
if(b == 0)
return a;
return Gcd(b, a % b);
}也可以写成迭代的形式：
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a‘ = b, b‘ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)
由于b‘ = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘) ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a‘, b‘) = Gcd(a, b) ===>
ay +b(x - a / by) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/by).
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：
求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a‘ * x + b‘ * y = n‘，此时Gcd(a‘,b‘)=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a‘ * x + b‘ * y = 1的一组整数解x0,y0，则n‘ * x0,n‘ * y0是方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a‘ * x + b‘ * y = n‘的所有整数解为：
x = n‘ * x0 + b‘ * t
y = n‘ * y0 - a‘ * t
(t为整数)
上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
代码：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
LL t=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return t;
}
}
LL x,y,m,n,l;
LL a,b,c;
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
a=m-n;
b=l;
c=y-x;
LL gcd=exgcd(a,b,x,y);
if(c%gcd) printf("Impossible\n");
else
{
x*=1LL*c/gcd;
printf("%lld",(x%b+b)%b);
}
return 0;
}标签：转换 搜索 inpu strong 欧几里德 整数 include pos 补充
原文地址：https://www.cnblogs.com/cmmdc/p/8757474.html
