最小覆盖圆的神奇算法及例题

时间：2018-06-16 18:45:03 阅读：201 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

最近翔哥上课讲计算几何这个神奇玩意。然后一堆新高一创新班的都特High，然后我们一堆初二的ZZ全程懵逼。

但是刚开始讲的这个东西还是令人耳目一新的。

原来随机化算法这么强劲？好了我们来看这个算法——随机增量法

一看名字就知道，先要把输入的点打乱，使其随机化。玄学

然后就是从第一个点开始枚举点\(i\)，如果当前的枚举的点在圆内部，就继续不用管(显然的）。否则就以该点为圆心半径为\(0\)开始枚举\(j(1\le j < i)\) 。

如果\(j\)在当前圆的外面就取点\(i\)和点\(j\)的中点为圆心，距离的一半为半径（两点的最小覆盖圆）。以这个圆再枚举\(k(1\le k<j)\)，然后如果点\(k\)在圆外（这和上面的都是一样的）。就以\(i,j,k\)三点在计算最小覆盖圆。

而这个最小覆盖圆就是前\(i\)个点的最小覆盖圆。

然后最大的问题就在于这个已知三点求圆的圆心及半径的过程了。这里给出弱弱的解析几何方法~~计算几何我不会啊~~

我们要先知道一个关于圆的公式：

\(x^2+y^2=r^2\)

然后我们设圆心的坐标为\((x_0,y_0)\)然后就可以列一个三元二次方程解出\(x_0,y_0\)的值。

但是具体的解法太过技术性，找到一篇超级详细的解法。请仔细参阅。

~~然后就是坚定不移的相信自己是欧皇然后不被卡精度~~

但是这个复杂度就是玄学\(O(n)\)（具体证明参考dalao‘s blog）

板子（就是那个min_cover_circle~~English level is too low~~)

inline DB power(DB x)
{
    return x*x;
}
inline DB dis(node a,node b)
{
    return sqrt(power(a.x-b.x)+power(a.y-b.y));
}
inline bool in_circle(node a)
{
    return dis(a,O)<=r?1:0;
}
inline int calc(DB a,DB b,DB c,DB d,DB e,DB f)
{
    O.x=(b*f-d*e)/(b*c-a*d);
    O.y=(c*e-a*f)/(b*c-a*d);
}
inline void min_cover_circle(void)
{
    register int i,j,k;
    random_shuffle(a+1,a+n+1);
    for (i=1;i<=n;++i)
    if (!in_circle(a[i]))
    {
        O=a[i]; r=0;
        for (j=1;j<i;++j)
        if (!in_circle(a[j]))
        {
            O.x=(a[i].x+a[j].x)/2.0; O.y=(a[i].y+a[j].y)/2.0; r=dis(a[i],O);
            for (k=1;k<j;++k)
            if (!in_circle(a[k])) calc(a[i].x-a[j].x,a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[k].x,a[i].y-a[k].y,
            ((power(a[i].x)-power(a[j].x))-(power(a[j].y)-power(a[i].y)))/2.0,
            ((power(a[i].x)-power(a[k].x))-(power(a[k].y)-power(a[i].y)))/2.0),r=dis(a[i],O);
        }
    }
}