最大流算法和理论的简单理解

标签：IV   两种   学习   ima   就是   因此   分享图片   算法思想   老年人   

我退坑很久了，这篇文章不是因为刷OJ而写的总结，毕竟菜鸡老年人， 23333

之前我学网络流看的是算法书和别人的博客然后就开始套板子，而这次因为考试不得已把课本上的定理都看了一遍，瞬间对最大流算法更加清楚了。

1.定义

在学习网络流算法前要了解的一些知识。

1.对于一个有向的网络$G=(N, A, C)$,其中的$c_{i,j}$表示弧$(i,j)\in A$的容量，并设$s,t$为发点和收点，令
$$
x_{i,j}=通过弧(i,j)的流量
$$
2.对于一个满足流量限制的流量称之为可行流，其中限制条件为
(1)守恒方程(对于非收发点，流入流量等于流出流量)
$$
\sum_j x_{i,j}-\sum_j x_{j,i}=\left\{
\begin{aligned}
+v,\,\,\, i =s \\
0,\,\,\, i \neq s,t \\
-v,\,\,\, i =t
\end{aligned}
\right.
$$
3.设P是G中从s到t的无向路，若弧$(i,j)$的方向是从s到t，那么称之为前向弧，否则为后向弧。
4.如果对于G的一个无向路P，有前向弧$(i,j)$，$x_{i,j} < c_{i,j}$。有后向弧$(i,j)$，$x_{i, j}>0$则称P为增广路。

2.算法思想

以Ford-Fulkerson算法为例进行介绍

最大流算法的思想是找一条增广路，对其进行增加流量值，使其变成一个新的可行流，直到找不到增广路。

可是为什么是增广路呢？

那是因为增广路有且仅有以下两种情况，均可以增加流量

1.增广路上都是前向弧。

图中黑色数字表示边容量，红色数字表示现有流量。下图同。

对于这种情况，直接对每个边上进行流量的增加就好了。

2.增广路上有后向弧。

这种情况才是网络流中的重中之重。

对于前向弧进行流量的增加一个单位，对于后向弧进行流量的减少一个单位。

为什么要这么做呢？观察弧$(5,4)$，如果我们把这个弧上的流量退掉，那么退掉的这部分流量就可以增加到弧$(5,6)$上，保持节点5的流量守恒，因为节点5的退流，节点4流入的流量就减少一个单位，但是我们把节点4前面的前向弧都增加了一个单位，因此同样保证了节点4的守恒，同时增加了流量。

所以可以利用后向弧的这个特点对增广路进行流量的增加。

这样就得到了增广路的所有情况均可以对流量进行增加。

然后所有的理论工作就完成了，剩下的就是对网络进行DFS或BFS直到找不到增广路为止。

最大流算法和理论的简单理解

标签：IV   两种   学习   ima   就是   因此   分享图片   算法思想   老年人   

原文地址：https://www.cnblogs.com/cniwoq/p/9245813.html