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关于树状数组
线段树和树状数组在noip中本人觉得挺重要的,而且比较难写。
我们先来看树状数组。
look at 这个图
那么我们会发现一个有趣的性质。
设节点编号为n,那么这个节点管辖的区间为2k(其中k为n二进制末尾0的个数)个元素。
这个区间最后一个元素必然为An。
所以:Cn=A(n-2k+1)+...An
神奇吧。
通常,我们管2k叫做lowbit(n),哇这个名字真魔性。
计算方法呢就是n&(-n)
原理呢就是计算机中的补码存储方式。->挺好的
关于查询:
这个时候我们要用到前缀和,通过查询前缀和来实现查询区间和。至于前缀和是什么,如上文说到,您这个时候了还不会前缀和,放弃吧,快去学文化课吧。
那么我们如何实现呢,前缀和相减即可。
关于修改:
代码:(add与query)
众所周知(在我看来),树状数组不论是空间还是时间,都是完胜线段树的,那么我们就来分析一下它的复杂度:
1.查询的时候,因为每次都会让二进制表示中的最后一个1变为0,所以是O(log2n)。
2.修改的时候,同样也是每次让二进制表示中的最后一个1变为0,所以是O(log2n)。
相比于其他大型数据结构如线段树啊,splay啊,他在常数上非常有优势。
不过缺点是,他的应用面比较窄,基本是只能维护数字之后这一种信息。你可以在各大网站的模板题中看出来。
代码实现:
#include<cstdio> #include<iostream> int n,m,a[500010]; void add(int l,int r) { while(l<=n) a[l]+=r,l+=l&(-l); } int sum(int x) { int num=0; while(x) num+=a[x],x-=x&(-x); return num; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int x,i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&x),add(i,x); for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); if(a==1) add(b,c); else printf("%d\n",sum(c)-sum(b-1)); } return 0; }
#include <iostream> #include <cstdio> #define lowbit(x) x & -x using namespace std; long long tree[500005]; int n, m; void add(int x, long long num) { while (x <= n) { tree[x] += num; x += lowbit(x); } } long long query(int x) { long long ans = 0; while (x) { ans += tree[x]; x -= lowbit(x); } return ans; } int main() { freopen("in.txt", "r", stdin); scanf("%d%d", &n, &m); long long last = 0, now; for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lld", &now); add(i, now - last); last = now; } int flg; while (m--) { scanf("%d", &flg); if (flg == 1) { int x, y; long long k; scanf("%d%d%lld", &x, &y, &k); add(x, k); add(y + 1, -k); } else if (flg == 2) { int x; scanf("%d", &x); printf("%lld\n", query(x)); } } return 0; }
上面我们讨论了一维的,下面我们来讨论一下二维的。
其实很简单,就是树状数组套树状数组。
代码:
具体实现:
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 1100 int n,c[N][N]; inline int lowbit(int x){ return x&-x; } void updata(int x,int y,int v){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){ for(int j=y;j<=n;j+=lowbit(j)){ c[i][j]+=v; } } } int sum(int x,int y){ int res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){ for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){ res+=c[i][j]; } } return res; } int getsum(int x1,int y1,int x2,int y2){ return sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1); } int main(){ int opt,l,r,x,y,a,b,t; while(scanf("%d",&opt)!=EOF){ if(opt==0){ scanf("%d",&n); memset(c,0,sizeof(c)); } else if(opt==1){ scanf("%d%d%d",&x,&y,&a); updata(x+1,y+1,a); } else if(opt==2){ scanf("%d%d%d%d",&l,&b,&r,&t); printf("%d\n",getsum(l+1,b+1,r+1,t+1)); } } return 0; }
总结:树状数组作为一种方便、高效的数据结构,通常和其它的一些算法一起使用,而将树状数组作为主算法的题目反而较少。熟练掌握树状数组,是每个选手想要成功应该做到的。
下一篇我们要讲树状数组的升级版,线段树,拥有比树状数组更强大的功能,而且比较好理解,只不过更繁琐一些,在复杂度方面不如树状数组。
何事悲凉,你为秋。
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原文地址:https://www.cnblogs.com/GTBD/p/9295725.html