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贪心算法之过河问题

时间:2018-07-16 16:17:17      阅读:343      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题目大意是只有一艘船,能乘2人,船的运行速度为2人中较慢一人的速度,过去后还需一个人把船划回来,问把n个人运到对岸,最少需要多久。先将所有人过河所需的时间按照升序排序,我们考虑把单独过河所需要时间最多的两个旅行者送到对岸去,有两种方式:
1.最快的和次快的过河,然后最快的将船划回来;次慢的和最慢的过河,然后次快的将船划回来,所需时间为:t[0]+2*t[1]+t[n-1];
2.最快的和最慢的过河,然后最快的将船划回来,最快的和次慢的过河,然后最快的将船划回来,所需时间为:2*t[0]+t[n-2]+t[n-1]。
算一下就知道,除此之外的其它情况用的时间一定更多。每次都运送耗时最长的两人而不影响其它人,问题具有贪心子结构的性质。即比较t[n-2]+t[0]和2t[1]的大小

下面我们来证明为什么该策略为最优策略:

一.首先证明,先送的应该是最慢的两个:

1.如果t[n-2]+t[0]-2t[1]<0,那么,就说明,用最小t[0]分别单独送最慢和次慢的,要优于让最慢和次慢一起过河。那么这样,由于其他的t[i]<t[n-2],所以,t[i]+t[0]-2t[1]<t[n-2]+t[0]-2t[1]<0所以让最小的t[0]分别送所有的人,优于让他们中的任意两个人组合一起过河。所以这种情况下过河的总过程可以看成是,判断最慢的两个人是否应该一起过河,然后再继续判断下一个。

2.如果存在若干个t[i]满足t[i]+t[0]-2t[1]>0,那么也就是说明,满足这个条件的这些t[i]都有一个特点,那就是,让他和任意一个比他大的一起过河,都应该是要优于让最小的分别送他和那个比他大的过河。那现在,我想要说明的是,对于这些满足这个条件的t[i],应该让他们怎么组合,才能得到最优的结果呢:设:x=2t[1]-t[0]那么,t[0]≤t[1]....≤t[i-1]x≤t[i]...≤t[n].现在,这个x就是一个分界点,x左边的,让t[0]分别送最好,x右边的,任意两个组合都比这两个单独让t[0]送要快。我假设,让t[i]和t[n]一起,t[j]和t[n-1]一起,那么他们的时间花费为:t[n]和t[n-1]。而如果我让t[n-1]和t[n]一起,t[i]和t[j]一起,那么现在该策略的花费为:t[n]+max{t[i],t[j]}≤t[n]+t[n-1]。由此我们的出结论,让t[n-1]和t[n]在一起一定优于让他们分别和其他的任意一个组合一起过河。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int t,n,pep[10001],sum;
int main()
{    
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(pep,0,sizeof(pep));
        sum = 0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&pep[i]);
        sort(pep,pep+n);
        while(n > 3)
        {
            sum += min( pep[0]*2 + pep[n-1] + pep[n-2] , pep[n-1] + pep[1]*2 + pep[0] );
            n -= 2;
        }
        if(n == 3)
        {
            sum += pep[2] + pep[0] +pep[1];
        }
        if(n == 2)
        {
            sum +=  pep[1];
        }
        if(n == 1)
        {
            sum += pep[0];
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
} 

 

贪心算法之过河问题

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原文地址:https://www.cnblogs.com/mini-coconut/p/9317821.html

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