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高斯消元法
首先，我们导入几个概念。
定义1： 一个矩阵称为阶梯形（行阶梯形），若它有以下三个性质：
1.每一非零行在每一零行之上；
2.某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的后面；
3.某一行先导元素所在列下方元素都是零。
比如，
定义2：若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（简化行阶梯形）：
1.每一非零行的先导元素是1；
2.每一先导元素1是该元素所在列的惟一非零元素。
比如，
定理1：每个矩阵行等价于惟一的简化阶梯形矩阵。即简化阶梯形矩阵是惟一的。
下面，我们用一个具体例子来说明高斯消元法的主要步骤。
原矩阵：
第一步，由最左的非零列开始，这是一个主元列。主元位置在该列顶端。
第二步，在主元列中选取一个非零元作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上。
第三步，用倍加行变换将主元下面的元素变成0.
第四步，暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止。
对每一行重复上述步骤。
第五步，由最右面的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0.若某个主元不是1，用倍乘变换将它变成1.
最后，我们就得到了原矩阵的简化阶梯形。
其中，第1~4步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形的第5步，称为向后步骤。
C++实现
我们尝试用C++来实现以上步骤。这里只是简单的实现，也就是用代码描述了上述步骤，没有考虑过多的问题。欢迎大家在评论里指出问题，提出更好的建议，以便于日后改进。
大概的实现思路就是先实现向前步骤：
首先，我们对于每一行找到第一个不为零的元素，并且将这一行置为1 * * * *的形式，用这一行乘上倍数加到之后的每一行。
再实现向后步骤：
然后，我们从最后一行开始，选择主元，加到之前的每一行上，使得该列的元素都为零。
最后，我们就完成了化简，得到了简化阶梯形。
以上算法只是一个粗略实现，主要体现在：
1.对于主元的选定不够最优；
2.会出现精度问题；
3.对于某些情况无法处理。
先暂时贴上代码，之后有时间再进行优化。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 4 using namespace std; 5 6 int main() 7 { 8 double martix[100][100]; 9 int n, m; // n行m列 10 11 scanf("%d %d", &n, &m); 12 13 // 输入 14 for(int i = 0; i < n; i++) 15 for(int j = 0; j < m; j++) 16 scanf("%lf", &martix[i][j]); 17 18 // 向前步骤 19 for(int i = 0; i < n - 1; i++) 20 { 21 // 找主元 22 int pos = 0; 23 for(int j = 0; j < m; j++) 24 if(martix[i][j]) 25 { 26 pos = j; 27 break; 28 } 29 30 if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0) 31 { 32 double tmp = martix[i][pos]; 33 for(int j = pos; j < m; j++) 34 { 35 martix[i][j] = martix[i][j] / tmp; 36 } 37 } 38 for(int j = i + 1; j < n; j++) 39 { 40 if(!martix[j][pos]) 41 continue; 42 double tmp = martix[j][pos]; 43 for(int k = pos; k < m; k++) 44 { 45 martix[j][k] = martix[j][k] - martix[i][k] * tmp; 46 } 47 } 48 } 49 50 // 向后步骤 51 for(int i = n - 1; i > 0; i--) 52 { 53 int pos = 0; 54 for(int j = 0; j < m; j++) 55 if(martix[i][j]) 56 { 57 pos = j; 58 break; 59 } 60 61 if(martix[i][pos] != 1 && martix[i][pos] != 0) 62 { 63 double tmp = martix[i][pos]; 64 for(int j = pos; j < m; j++) 65 { 66 martix[i][j] = martix[i][j] / tmp; 67 } 68 } 69 70 for(int j = 0; j < i; j++) 71 { 72 if(!martix[j][pos]) 73 continue; 74 double tmp = martix[j][pos]; 75 for(int k = pos; k < m; k++) 76 { 77 martix[j][k] = martix[j][k] - martix[i][k] * tmp; 78 } 79 } 80 } 81 82 // 输出 83 for(int i = 0; i < n; i++) 84 { 85 for(int j = 0; j < m; j++) 86 printf("%-10.2f", martix[i][j]); 87 printf("\n"); 88 } 89 return 0; 90 }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Bil369/p/9408860.html
