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最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）的概念：
假设要在n个城市之间建立公路，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑，如何在最节省经费的前提下建立这个公路网络。
每2个城市之间都可以设置一条公路，相应地都要付出一定的经济代价。n个城市之间，最多可以设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少？
克鲁斯卡尔（kruskal）算法的大致思路：
把每条边的权重按照从小到大排序后，连接。连接时，需要查看要连接的两个顶点的父节点是否相同，不同才可以连接，连接后，更新父节点。
图为下图：
第一步
图1
第二步
图2
第三步
图3
第四步
A->D,C->D,B->C的权重都是5，这时就不知道连哪个了，所以要创建2个辅助函数is_same,mark_same。
is_same用来判断要连接的2个点的父节点是否相同，如果相同就说明了，连接后，图就存在了环，所以不可以连接，放弃这条边，去寻找下一条边。
mark_same用来更新节点的父节点。
当拿到的节点是AD时，发现AD的父节点都是A，所以放弃；
当拿到的节点是CD时，发现AD的父节点都是A，所以放弃；
当拿到的节点是BC时，发现B的父节点是自己，C的父节点是A，父节点不同，所以连接，并更父节点
图4
找一半的矩阵，把各条边的起点，终点，权重，放到edge数组里
图5
mixSpanTree.h
#ifndef __mixspantree__
#define __mixspantree__
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <assert.h>
#include <memory.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#define Default_vertex_size 20
#define T char//dai biao ding dian de lei xing
#define E int
#define MAX_COST 0x7FFFFFFF
typedef struct GraphMtx{
int MaxVertices;//zui da ding dian shu liang]
int NumVertices;//shi ji ding dian shu liang
int NumEdges;//bian de shu lian
T* VerticesList;//ding dian list
int** Edge;//bian de lian jie xin xi, bu shi 0 jiu shi 1
}GraphMtx;
typedef struct Edge{
int begin;//边的起点
int end; //边的终点
E cost; //边的权重
}Edge;
//chu shi hua tu
void init_graph(GraphMtx* gm);
//打印二维数组
void show_graph(GraphMtx* gm);
//插入顶点
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v);
//添加顶点间的线
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost);
//用kruskal算法构造最小生成树
void minSpanTree_kruskal(GraphMtx* gm);
#endif
mixSpanTree.c
#include "mixSpanTree.h"
void init_graph(GraphMtx* gm){
gm->MaxVertices = Default_vertex_size;
gm->NumEdges = gm->NumVertices = 0;
//kai pi ding dian de nei cun kong jian
gm->VerticesList = (T*)malloc(sizeof(T) * (gm->MaxVertices));
assert(NULL != gm->VerticesList);
//创建二维数组
//让一个int的二级指针，指向一个有8个int一级指针的数组
//开辟一个能存放gm->MaxVertices个int一级指针的内存空间
gm->Edge = (int**)malloc(sizeof(int*) * (gm->MaxVertices));
assert(NULL != gm->Edge);
//开辟gm->MaxVertices组，能存放gm->MaxVertices个int的内存空间
for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
gm->Edge[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * gm->MaxVertices);
}
//初始化二维数组
//让每个顶点之间的边的关系都为不相连的
for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
for(int j = 0; j < gm->MaxVertices; ++j){
if(i == j)
gm->Edge[i][j] = 0;
else
gm->Edge[i][j] = MAX_COST;
}
}
}
//打印二维数组
void show_graph(GraphMtx* gm){
printf(" ");
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
printf("%c ", gm->VerticesList[i]);
}
printf("\n");
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
//在行首,打印出顶点的名字
printf("%c:", gm->VerticesList[i]);
for(int j = 0; j < gm->NumVertices; ++j){
if(gm->Edge[i][j] == MAX_COST){
printf("%c ", ‘*‘);
}
else{
printf("%d ", gm->Edge[i][j]);
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
//插入顶点
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v){
//顶点空间已满，不能再插入顶点了
if(gm->NumVertices >= gm->MaxVertices){
return;
}
gm->VerticesList[gm->NumVertices++] = v;
}
int getVertexIndex(GraphMtx* gm, T v){
for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
if(gm->VerticesList[i] == v)return i;
}
return -1;
}
//添加顶点间的线
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost){
if(v1 == v2)return;
//查找2个顶点的下标
int j = getVertexIndex(gm, v1);
int k = getVertexIndex(gm, v2);
//说明找到顶点了,并且点之间还没有线
if(j != -1 && k != -1 ){
//因为是无方向，所以更新2个值
gm->Edge[j][k] = gm->Edge[k][j] = cost;
//边数加一
gm->NumEdges++;
}
}
//比较边的权重,本函数作为快速排序函数的参数来使用。
int cmp(const void* a, const void* b){
return ((*(Edge*)a).cost - (*(Edge*)b).cost);
}
//判断参数的2个顶点的父节点是否相同
bool is_same(int* father, int begin, int end){
while(father[begin] != begin){
begin = father[begin];
}
while(father[end] != end){
end = father[end];
}
return begin == end;
}
//找到end节点的父节点x，再找到begin节点的父节点y，更新x节点的父节点为y
void mark_same(int* father, int begin, int end){
while(father[begin] != begin){
begin = father[begin];
}
while(father[end] != end){
end = father[end];
}
father[end] = begin;
}
//用kruskal算法构造最小生成树
void minSpanTree_kruskal(GraphMtx* g){
int n = g->NumVertices;
Edge* edge = (Edge*)malloc(sizeof(Edge) * n*(n-1)/2);
assert(edge != NULL);
int k = 0;
//查找一半的矩阵，把各条边的起点，终点，权重，放到edge数组里，参照上面的图5
for(int i = 0; i < n; ++i){
for(int j = i; j < n; j++){
if(g->Edge[i][j] != 0 && g->Edge[i][j] != MAX_COST){
edge[k].begin = i;
edge[k].end = j;
edge[k].cost = g->Edge[i][j];
k++;
}
}
}
//按照权重来排序(用系统函数）
//第一个参数：要被排序的数组
//第二个参数：数组中元素的个数
//第三个参数：每个数组元素占用的内存空间
//第四个参数：函数指针，指定排序的规则
qsort(edge, k, sizeof(Edge), cmp);
//初始化每个节点的父节点，让每个节点的父节点为自身
int *father = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
assert(NULL != father);
for(int i = 0; i < n; ++i){
father[i] = i;
}
for(int i = 0; i < n; ++i){
//判断2个节点的父节点是否相同，不相同就连接
if(!is_same(father, edge[i].begin, edge[i].end)){
printf("%c->%c:%d\n",g->VerticesList[edge[i].begin],g->VerticesList[edge[i].end], edge[i].cost);
//连接后，找到节点end的父节点x，再找到节点begin的父节点y，把节点x的父节点更新为y
mark_same(father, edge[i].begin, edge[i].end);
}
}
}
mixSpanTreemain.c
#include "mixSpanTree.h"
int main(){
GraphMtx gm;
//初始化图
init_graph(&gm);
//插入顶点
insert_vertex(&gm, ‘A‘);
insert_vertex(&gm, ‘B‘);
insert_vertex(&gm, ‘C‘);
insert_vertex(&gm, ‘D‘);
insert_vertex(&gm, ‘E‘);
insert_vertex(&gm, ‘F‘);
//添加连线
insert_edge(&gm, ‘A‘, ‘B‘, 6);
insert_edge(&gm, ‘A‘, ‘D‘, 5);
insert_edge(&gm, ‘A‘, ‘C‘, 1);
insert_edge(&gm, ‘B‘, ‘E‘, 3);
insert_edge(&gm, ‘B‘, ‘C‘, 5);
insert_edge(&gm, ‘C‘, ‘E‘, 6);
insert_edge(&gm, ‘C‘, ‘D‘, 5);
insert_edge(&gm, ‘C‘, ‘F‘, 4);
insert_edge(&gm, ‘F‘, ‘E‘, 6);
insert_edge(&gm, ‘D‘, ‘F‘, 2);
//打印图
show_graph(&gm);
//kruskal
minSpanTree_kruskal(&gm);
}
编译方法：gcc -g mixSpanTree.c mixSpanTreemain.c
c/c++ 用克鲁斯卡尔（kruskal）算法构造最小生成树
标签：include 假设 dia bubuko 分享图片 网络 return ges ++
原文地址：https://www.cnblogs.com/xiaoshiwang/p/9420541.html
