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树状数组求逆序对

时间:2018-08-19 11:55:50      阅读:140      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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1、什么是逆序数?
2、用树状数组求逆序数的总数
         2.1该背景下树状数组的含义
         2.2如何使用树状数组求逆序数总数
         2.3 C++实现代码
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1、什么是逆序数?

         在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序数的总数就是这个排列的逆序数。

 

2、用树状数组求逆序数的总数

         2.1该背景下树状数组的含义

         我们假设一个数组A[n],当A[n]=0时表示数字n在序列中没有出现过,A[n]=1表示数字n在序列中出现过。A对应的树状数组为c[n],则c[n]对应维护的是数组A[n]的内容,即树状数组c可用于求A中某个区间的值的和。

         树状数组的插入函数(假设为 void insert(int i,int x) )的含义:在求逆序数这个问题中,我们的插入函数通常使用为insert( i , 1 ),即将数组A[i]的值加1 (A数组开始应该初始化为0,所以也可以理解为设置A[ i ]的值为1,即将数字i 加入到序列的意思 )。,同时维护c数组的值。

         树状数组中区间求和函数(假设函数定义为: int getsun(int i ) )的含义:该函数的作用是用于求序列中小于等于数字 i 的元素的个数。这个是显而易见的,因为树状数组c 维护的是数组A的值,则该求和函数即是用于求下标小于等于 i 的数组A的和,而数组A中元素的值要么是0要么是1,所以最后求出来的就是小于等于i的元素的个数。

         所以要求序列中比元素a大的数的个数,可以用i - getsum(a)即可( i 表示此时序列中元素的个数)。

 

         2.2如何使用树状数组求逆序数总数

         首先来看如何减小问题的规模:

         要想求一个序列 a b c d,的逆序数的个数,可以理解为先求出a b c的逆序数的个数k1,再在这个序列后面增加一个数d,求d之前的那个序列中值小于d的元素的个数k2,则k1+k2即为序列a b c d的逆序数的个数。

         举个例子加以说明:

  假设给定的序列为 4 3 2 1,我们从左往右依次将给定的序列输入,每次输入一个数temp时,就将当前序列中大于temp的元素的个数计算出来,并累加到ans中,最后ans就是这个序列的逆序数个数。

 

序列的变化(下划线为新增加元素)

序列中大于新增加的数字的个数

操作

{ }

0

初始化时序列中一个数都没有

{4 }

0

往序列中增加4,统计此时序列中大于4的元素个数

{4 3 }

1

往序列中增加3,统计此时序列中大于3的元素个数

{4 3 2}

2

往序列中增加2,统计此时序列中大于2的元素个数

{4 3 2 1}

3

往序列中增加1,统计此时序列中大于1的元素个数

         当所有的元素都插入到序列后,即可得到序列{4 3 2 1}的逆序数的个数为1+2+3=6.

        

         2.3 C++实现代码如下:

 

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
#define N 1010
int c[N]; 
int n;
int lowbit(int i)
{
    return i&(-i);
}
int insert(int i,int x)
{
    while(i<=n){
        c[i]+=x;
        i+=lowbit(i);
    }
    return 0;
}

int getsum(int i)
{
    int sum=0;
    while(i>0){
        sum+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    } 
    return sum;
}
void output()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
int main()
{
    while(cin>>n){
        int ans=0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int a;
            cin>>a;
            insert(a,1);
            ans+=i-insert(a);//统计当前序列中大于a的元素的个数
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

——来自 熊猫 [http://www.cnblogs.com/xiongmao-cpp/]

树状数组求逆序对

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原文地址:https://www.cnblogs.com/WTSRUVF/p/9500567.html

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