标签：保存 最大 char 数学模型 时间复杂度 空间 题解 i++ 复杂度
##算法
裸01背包。
##分析
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品(部分或全部)恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}。
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值c[i]。
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N\*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的逆序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-w[i]]的值。
伪代码如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]};
其中f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+c[i]}相当于转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}，因为现在的f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的完全背包问题最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
简单来说，设f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值，则f[i][v]=max(f[i-1][v-w[i]]+c[i]，f[i-1][v]) ；f[n][m]即为最优解。
##程序
###NO.1:
```cpp
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxm = 201, maxn = 31;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxn][maxm];
int max(int x,int y) { x>y?x:y;} //求x和y最大值
int main(){
scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品数量n
for (int i = 1; i <= n; i++) //在初始化循环变量部分，定义一个变量并初始化
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每个物品的重量和价值
for (int i = 1; i <= n; i++) // f[i][v]表示前i件物品，总重量不超过v的最优价值
for (int v = m; v > 0; v--)
if (w[i] <= v) f[i][v] = max(f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]);
else f[i][v] = f[i-1][v];
printf("%d",f[n][m]); // f[n][m]为最优解
return 0;
}
```
使用二维数组存储各子问题时方便，但当maxm较大时，如maxm=2000时不能定义二维数组f，怎么办，其实可以用一维数组。
本问题的数学模型如下：设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值， 则f[v]=max{f[v]，f[v-w[i]]+c[i]} ，当v>=w[i]，1<=i<=n 。
###NO.2:
```cpp
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxm = 2001, maxn = 31;
int m, n;
int w[maxn], c[maxn];
int f[maxm];
int main(){
scanf("%d%d",&m, &n); //背包容量m和物品数量n
for (int i=1; i <= n; i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); //每个物品的重量和价值
for (int i=1; i <= n; i++) //设f(v)表示重量不超过v公斤的最大价值
for (int v = m; v >= w[i]; v--)
if (f[v-w[i]]+c[i]>f[v])
f[v] = f[v-w[i]]+c[i];
printf("%d",f[m]); // f(m)为最优解
return 0;
}
```
###NO.3:
```cpp
#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;
int tt[200];
int vv[200];
int dp[1005][105];
int main () {
int T, M;
cin >> T >> M;
assert(1 <= T && T <= 1000);
assert(1 <= M && M <= 100);
int i, j;
for (i = 1; i <= M; i++) {
cin >> tt[i] >> vv[i];
assert(1 <= tt[i] && tt[i] <= 100);
assert(1 <= vv[i] && vv[i] <= 100);
}
for (i = 1; i <= T; i++) {
for (j = 1; j <= M; j++) {
int a = dp[i][j - 1];
if (i >= tt[j]) {
int b = dp[i - tt[j]][j - 1] + vv[j];
if (b > a) a = b;
}
dp[i][j] = a;
}
}
cout << dp[T][M] << endl;
{char c;assert(!(cin >> c));}
return 0;
}
```
##总结
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/DingYi0602OIer/p/9535879.html
