标签:转变 因变量 col 一点 运算 表示 lin 基本 维度
实际中有很多问题是一个因变量与多个自变量成线性相关,我们可以用一个多元线性回归方程来表示。
为了方便计算,我们将上式写成矩阵形式:
Y = XW
我们希望求出的W是最接近线性方程的解的,最接近我们定义为残差平方和最小,残差的公式和残差平方和的公式如下:
上面的公式用最小残差平方和的方式导出的,还有一种思路用最大似然的方式也能推导出和这个一样的公式,首先对模型进行一些假设:
简单推导如下:
由此利用最大似然原理导出了和最小二乘一样的公式。
二次函数是个凸函数,极值点就是最小点。只需要求导数=0解出W即可。
我们这里用R语言模拟实践一下,由于我们使用的矩阵运算,这个公式一元和多元都是兼容的,我们为了可视化方便一点,我们就用R语言自带的women数据做一元线性回归,和多元线性回归的方式基本一样。
women数据如下
> women
height weight
1 58 115
2 59 117
3 60 120
4 61 123
5 62 126
6 63 129
7 64 132
8 65 135
9 66 139
10 67 142
11 68 146
12 69 150
13 70 154
14 71 159
15 72 164
体重和身高具有线性关系,我们做一个散点图可以看出来:
我们用最小二乘推导出来的公式计算w如下
X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
X.T <- t(X)
w <- solve(X.T %*% X) %*% X.T %*% y
> w
[,1]
[1,] -87.51667
[2,] 3.45000
> lm.result <- lm(women$weight~women$height)
> lm.result
Call:
lm(formula = women$weight ~ women$height)
Coefficients:
(Intercept) women$height
-87.52 3.45
上面的R代码w使我们利用公式计算出来的,下边是R语言集成的线性回归函数拟合出来的,可以看出我们的计算结果是正确的,lm的只是小数点取了两位而已,将回归出来的函数画到图中看下回归的效果。
画图对应的R代码如下,用R的感觉.....太飘逸了。
> png(file="chart2.png")
> plot(women$height, women$weight)
> lines(women$height, X %*% w)
> dev.off()
除了用正规方程方式求解W,也可以用最常见的梯度下降法求得W,因为最小二乘是个凸函数,所以这里找到的极小点就是最小点。下面这段代码用R写还是非常容易的,但是刚开始step步长参数调的太大了,导致一直不收敛,我还
以为是程序错误,后来怎么看也没写错,就把参数调了个很小值,结果就收敛了。step的这个取值其实应该是变化的,先大后下比较科学,我这个调的很小,需要接近500万次才能收敛。
X <- cbind(rep(1, nrow(women)), women$height)
Y <- women$weight
maxIterNum <- 5000000;
step <- 0.00003;
W <- rep(0, ncol(X))
for (i in 1:maxIterNum){
grad <- t(X) %*% (X %*% W - Y);
if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-3){
print(sprintf('iter times=%d', i));
break;
}
W <- W - grad * step;
}
print(W);
[1] "iter times=4376771"
print(W);
[,1]
[1,] -87.501509
[2,] 3.449768
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原文地址:https://www.cnblogs.com/zhiranok/p/xianxinghuigui.html