标签：stat   课程   下界   分治   应用   计算机   数组   指针   大量数据   

1、 课程目标

• 排序是任何语言都会使用到的功能之一，然成果排序的算法有很多，对空间的要求及其时间效率也不尽相同。
• 本文章以Java语言示例，通过对空间要求、时间效率要求，来对比各种排序算法的使用场景

2、适用对象

• Java语言初学者
• Java算法爱好者

3、相关概念

3.1 排序概念

• 排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

3.2 排序算法

• 排序算法，就是如何使得记录按照要求排列的方法。
• 排序算法在很多领域得到相当地重视，尤其是在大量数据的处理方面。
• 一个优秀的算法可以节省大量的资源。在各个领域中考虑到数据的各种限制和规范，要得到一个符合实际的优秀算法，得经过大量的推理和分析。

4、算法介绍

4.1 算法分类

• 十种常见排序算法可以分为两大类：
  非线性时间比较类排序：通过比较来决定元素间的相对次序，由于其时间复杂度不能突破O(nlogn)，因此称为非线性时间比较类排序。

  线性时间非比较类排序：不通过比较来决定元素间的相对次序，它可以突破基于比较排序的时间下界，以线性时间运行，因此称为线性时间非比较类排序。

  

4.2 算法复杂度

4.3 名词解释

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面。

不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面。

时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。

空间复杂度：是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。

5、冒泡排序（Bubble Sort）

5.1 原理

• 冒泡排序是一种简单的排序算法。
• 它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果它们的顺序错误就把它们交换过来。
• 走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。
• 这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

5.2 算法描述

• 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换它们两个；
• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对，这样在最后的元素应该会是最大的数；
• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个；
• 重复步骤1~3，直到排序完成。

5.3 动图演示

• 动图来源

5.4 代码实现

/**
* 冒泡排序
* 分类 -------------- 内部比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- O(n^2)
* 最优时间复杂度 ---- 如果能在内部循环第一次运行时,使用一个旗标来表示有无需要交换的可能,可以把最优时间复杂度降低到O(n)
* 平均时间复杂度 ---- O(n^2)
* 所需辅助空间 ------ O(1)
* 稳定性 ------------ 稳定
*/
public void bubble (int []array){
    int temp;//交换数据
    System.out.println("冒泡排序：");
    for(int i=0;i<array.length-1;i++) {   //最后一个元素不需要比，所以总次数减少1
        for(int j=0;j<array.length-1-i;j++) { //每次少比一回
            if(array[j]>array[j+1]) { //大于时交换升降，反之降序
                temp=array[j];
                array[j]=array[j+1];
                array[j+1]=temp;
            }
        }
    }
}

6、选择排序（Selection Sort）

6.1 原理

• 选择排序(Selection-sort)是一种简单直观的排序算法。
• 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，
• 然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
• 4以此类推，直到所有元素均排序完毕。

6.2 算法描述

n个记录的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。具体算法描述如下：

• 初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空；
• 第i趟排序(i=1,2,3…n-1)开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(i..n）。该趟排序从当前无序区中-选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R[i+1..n)分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区；
• n-1趟结束，数组有序化了。

6.3 动图演示

• 动图来源

6.4 代码实现

/**
* 选择排序
* 分类 -------------- 内部比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- O(n^2)
* 最优时间复杂度 ---- O(n^2)
* 平均时间复杂度 ---- O(n^2)
* 所需辅助空间 ------ O(1)
* 稳定性 ------------ 不稳定  
*/
public  void selection (int []arr){
    int len = arr.length;
    int minIndex, temp;
    for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
        minIndex = i;                           //用来记住数组元素的下标
        for (int j = i + 1; j < len; j++) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {       // 寻找最小的数
                minIndex = j;                   // 将最小数的索引保存
            }
        }
        //一轮排序进行一次数组位置交换
        if(i!=minIndex) {
            temp = arr[i];
            arr[i] = arr[minIndex];
            arr[minIndex] = temp;
        }
    }
}

7、插入排序（Insertion Sort）

7.1 原理

• 插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。
• 通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

7.2 算法描述

• 一般来说，插入排序都采用in-place在数组上实现。具体算法描述如下：
  • 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序；
  • 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描；
  • 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置；
  • 重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置；
  • 将新元素插入到该位置后；
  • 重复步骤2~5

7.3 动图演示

• 动图来源

7.4 代码实现

/**
* 插入排序
* 分类 ------------- 内部比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- 最坏情况为输入序列是降序排列的,此时时间复杂度O(n^2)
* 最优时间复杂度 ---- 最好情况为输入序列是升序排列的,此时时间复杂度O(n)
* 平均时间复杂度 ---- O(n^2)
* 所需辅助空间 ------ O(1)
* 稳定性 ------------ 稳定
*/
public  void insertion (int []arr){
    int len = arr.length;
    int preIndex, current;
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        preIndex = i - 1;
        current = arr[i];
        while (preIndex >= 0 && arr[preIndex] > current) {
            arr[preIndex + 1] = arr[preIndex];
            preIndex--;
        }
        arr[preIndex + 1] = current;
    }
}

8、希尔排序（Shell Sort）

8.1 原理

• 1959年Shell发明，第一个突破O(n2)的排序算法，是简单插入排序的改进版。
• 它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。希尔排序又叫缩小增量排序。

8.2 算法描述

• 先将整个待排序的记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，具体算法描述：
  • 选择一个增量序列t1，t2，…，tk，其中ti>tj，tk=1；
  • 按增量序列个数k，对序列进行k 趟排序；
  • 每趟排序，根据对应的增量ti，将待排序列分割成若干长度为m 的子序列，分别对各子表进行直接插入排序。仅增量因子为1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

8.3 动图演示

• 动图来源

8.4 代码实现

/**
* 希尔排序
* 分类 -------------- 内部比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- 根据步长序列的不同而不同。已知最好的为O(n(logn)^2)
* 最优时间复杂度 ---- O(n)
* 平均时间复杂度 ---- 根据步长序列的不同而不同。
* 所需辅助空间 ------ O(1)
* 稳定性 ------------ 不稳定
*/
public  void shellSort(int[] arrays) {
    if (arrays == null || arrays.length <= 1) {
        return;
    }
    //增量
    int incrementNum = arrays.length / 2;
    while (incrementNum >= 1) {
        for (int i = 0; i < arrays.length; i++) {
            //进行插入排序
            for (int j = i; j < arrays.length - incrementNum; j = j + incrementNum) {
                if (arrays[j] > arrays[j + incrementNum]) {
                    int temple = arrays[j];
                    arrays[j] = arrays[j + incrementNum];
                    arrays[j + incrementNum] = temple;
                }
            }
        }
        //设置新的增量
        incrementNum = incrementNum / 2;
    }
    System.out.println(Arrays.toString(arrays));
}

9、归并排序（Merge Sort）

9.1 原理

• 归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。
• 该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
• 将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。
• 若将两个有序表合并成一个有序表，称为2-路归并。

9.2 算法描述

• 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列；
• 对这两个子序列分别采用归并排序；
• 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

9.3 动图演示

• 动图来源
  

• 实现步骤(分而治之)

  • 分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程，递归深度为log2n。

• 治阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，来看下实现步骤。

9.4 代码实现

/**
* 归并排序
* 分类 -------------- 内部比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)
* 最优时间复杂度 ---- O(nlogn)
* 平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
* 所需辅助空间 ------ O(n)
* 稳定性 ------------ 稳定
*/
public class MergeSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public static void sort(int[] arr) {
        int[] temp = new int[arr.length];//在排序前，先建好一个长度等于原数组长度的临时数组，避免递归中频繁开辟空间
        sort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    }

    private static void sort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
        if (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            sort(arr, left, mid, temp);//左边归并排序，使得左子序列有序
            sort(arr, mid + 1, right, temp);//右边归并排序，使得右子序列有序
            merge(arr, left, mid, right, temp);//将两个有序子数组合并操作
        }
    }

    private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
        int i = left;//左序列指针
        int j = mid + 1;//右序列指针
        int t = 0;//临时数组指针
        while (i <= mid && j <= right) {
            if (arr[i] <= arr[j]) {
                temp[t++] = arr[i++];
            } else {
                temp[t++] = arr[j++];
            }
        }
        while (i <= mid) {//将左边剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[i++];
        }
        while (j <= right) {//将右序列剩余元素填充进temp中
            temp[t++] = arr[j++];
        }
        t = 0;
        //将temp中的元素全部拷贝到原数组中
        while (left <= right) {
            arr[left++] = temp[t++];
        }
    }
}

10、快速排序（Quick Sort）

10.1 原理

• 通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，
• 其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，
• 则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

10.2 算法描述

• 快速排序使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：
  • 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；
  • 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
  • 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

10.3 动图演示

• 动图来源

10.4 代码实现

/**
* 快速排序
* 分类 ------------ 内部比较排序
* 数据结构 --------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- 每次选取的基准都是最大（或最小）的元素，导致每次只划分出了一个分区，需要进行n-1次划分才能结束递归，时间复杂度为O(n^2)
* 最优时间复杂度 ---- 每次选取的基准都是中位数，这样每次都均匀的划分出两个分区，只需要logn次划分就能结束递归，时间复杂度为O(nlogn)
* 平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
* 所需辅助空间 ------ 主要是递归造成的栈空间的使用(用来保存left和right等局部变量)，取决于递归树的深度，一般为O(logn)，最差为O(n)       
* 稳定性 ---------- 不稳定
*/

public class QuickSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {1, 2, 4, 5, 7, 4, 5, 3, 9, 0};
        System.out.println(Arrays.toString(a));
        quickSort(a);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }

    public static void quickSort(int[] a) {
        if (a.length > 0) {
            quickSort(a, 0, a.length - 1);
        }
    }

    private static void quickSort(int[] a, int low, int high) {
        //1,找到递归算法的出口
        if (low > high) {
            return;
        }
        //2, 存
        int i = low;
        int j = high;
        //3,key
        int key = a[low];
        //4，完成一趟排序
        while (i < j) {
            //4.1 ，从右往左找到第一个小于key的数
            while (i < j && a[j] > key) {
                j--;
            }
            // 4.2 从左往右找到第一个大于key的数
            while (i < j && a[i] <= key) {
                i++;
            }
            //4.3 交换
            if (i < j) {
                int p = a[i];
                a[i] = a[j];
                a[j] = p;
            }
        }
        // 4.4，调整key的位置
        int p = a[i];
        a[i] = a[low];
        a[low] = p;
        //5, 对key左边的数快排
        quickSort(a, low, i - 1);
        //6, 对key右边的数快排
        quickSort(a, i + 1, high);
    }
}

11、堆排序（Heap Sort）

11.1 原理

• 堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。
• 堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

11.2 算法描述

• 将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
• 将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n]；
• 由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

11.3 动图演示

• 动图来源

11.4 代码实现

import java.util.Arrays;

/**
 * 堆排序
 * 分类 -------------- 内部比较排序
 * 数据结构 ---------- 数组
 * 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)
 * 最优时间复杂度 ---- O(nlogn)
 * 平均时间复杂度 ---- O(nlogn)
 * 所需辅助空间 ------ O(1)
 * 稳定性 ------------ 不稳定
 */
public class HeapSort {

    public static void main(String[] args) {
        int a[] = { 51, 46, 20, 18, 65, 97, 82, 30, 77, 50 };
        heapSort(a);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }

    /**
     * 构建大顶堆
     */
    public static void adjustHeap(int[] a, int i, int len) {
        int temp, j;
        temp = a[i];
        for (j = 2 * i; j < len; j *= 2) {// 沿关键字较大的孩子结点向下筛选
            if (j < len && a[j] < a[j + 1])
                ++j; // j为关键字中较大记录的下标
            if (temp >= a[j])
                break;
            a[i] = a[j];
            i = j;
        }
        a[i] = temp;
    }

    public static void heapSort(int[] a) {
        int i;
        for (i = a.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {// 构建一个大顶堆
            adjustHeap(a, i, a.length - 1);
        }
        for (i = a.length - 1; i >= 0; i--) {// 将堆顶记录和当前未经排序子序列的最后一个记录交换
            int temp = a[0];
            a[0] = a[i];
            a[i] = temp;
            adjustHeap(a, 0, i - 1);// 将a中前i-1个记录重新调整为大顶堆
        }
    }

}

12、计数排序（Counting Sort）

12.1 原理

• 计数排序不是基于比较的排序算法，其核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。
• 作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

12.2 算法描述

• 找出待排序的数组中最大和最小的元素；
• 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项；
• 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）；
• 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1。

12.3 动图演示

• 动图来源

12.4 代码实现

/**
 * 计数排序
 * 分类 ------------ 内部非比较排序
 * 数据结构 --------- 数组
 * 最差时间复杂度 ---- O(n + k)
 * 最优时间复杂度 ---- O(n + k)
 * 平均时间复杂度 ---- O(n + k)
 * 所需辅助空间 ------ O(n + k)
 * 稳定性 ----------- 稳定
 */
public class CountSort {

    private static int[] countSort(int[] array,int k)
    {
        int[] C=new int[k+1];//构造C数组
        int length=array.length,sum=0;//获取A数组大小用于构造B数组
        int[] B=new int[length];//构造B数组
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            C[array[i]]+=1;// 统计A中各元素个数，存入C数组
        }
        for(int i=0;i<k+1;i++)//修改C数组
        {
            sum+=C[i];
            C[i]=sum;
        }
        for(int i=length-1;i>=0;i--)//遍历A数组，构造B数组
        {

            B[C[array[i]]-1]=array[i];//将A中该元素放到排序后数组B中指定的位置
            C[array[i]]--;//将C中该元素-1，方便存放下一个同样大小的元素

        }
        return B;//将排序好的数组返回，完成排序

    }
    public static void main(String[] args)
    {
        int[] A=new int[]{2,5,3,0,2,3,0,3};
        int[] B=countSort(A, 5);
        System.out.println(Arrays.toString(B));
    }
}

13、桶排序（Bucket Sort）

13.1 原理

• 桶排序是计数排序的升级版。
• 它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。
• 桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

13.2 算法描述

• 设置一个定量的数组当作空桶；
• 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去；
• 对每个不是空的桶进行排序；
• 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。

13.3 动图演示

• 动图来源

13.4 代码实现

/**
* 桶排序
* * 分类 ------------- 内部非比较排序
* 数据结构 --------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- O(nlogn)或O(n^2)，只有一个桶，取决于桶内排序方式
* 最优时间复杂度 ---- O(n)，每个元素占一个桶
* 平均时间复杂度 ---- O(n)，保证各个桶内元素个数均匀即可
* 所需辅助空间 ------ O(n + bn)
* 稳定性 ----------- 稳定
*/
public static void bucketSort(int[] arr){

    int max = Integer.MIN_VALUE;
    int min = Integer.MAX_VALUE;
    for(int i = 0; i < arr.length; i++){
        max = Math.max(max, arr[i]);
        min = Math.min(min, arr[i]);
    }

    //桶数
    int bucketNum = (max - min) / arr.length + 1;
    ArrayList<ArrayList<Integer>> bucketArr = new ArrayList<>(bucketNum);
    for(int i = 0; i < bucketNum; i++){
        bucketArr.add(new ArrayList<Integer>());
    }

    //将每个元素放入桶
    for(int i = 0; i < arr.length; i++){
        int num = (arr[i] - min) / (arr.length);
        bucketArr.get(num).add(arr[i]);
    }

    //对每个桶进行排序
    for(int i = 0; i < bucketArr.size(); i++){
        Collections.sort(bucketArr.get(i));
    }

    System.out.println(bucketArr.toString());

}

14、基数排序（Radix Sort）

14.1 原理

• 基数排序是按照低位先排序，然后收集；
• 再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。
• 有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。
• 最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

14.2 算法描述

• 取得数组中的最大数，并取得位数；
• arr为原始数组，从最低位开始取每个位组成radix数组；
• 对radix进行计数排序（利用计数排序适用于小范围数的特点）；

14.3 动图演示

• 动图来源

14.4 代码实现

/**
* 基数排序
* 分类 ------------- 内部非比较排序
* 数据结构 ---------- 数组
* 最差时间复杂度 ---- O(n * dn)
* 最优时间复杂度 ---- O(n * dn)
* 平均时间复杂度 ---- O(n * dn)
* 所需辅助空间 ------ O(n * dn)
* 稳定性 ----------- 稳定
*/
private static void radixSort(int[] array,int d)
{
    int n=1;//代表位数对应的数：1,10,100...
    int k=0;//保存每一位排序后的结果用于下一位的排序输入
    int length=array.length;
    int[][] bucket=new int[10][length];//排序桶用于保存每次排序后的结果，这一位上排序结果相同的数字放在同一个桶里
    int[] order=new int[length];//用于保存每个桶里有多少个数字
    while(n<d)
    {
        for(int num:array) //将数组array里的每个数字放在相应的桶里
        {
            int digit=(num/n)%10;
            bucket[digit][order[digit]]=num;
            order[digit]++;
        }
        for(int i=0;i<length;i++)//将前一个循环生成的桶里的数据覆盖到原数组中用于保存这一位的排序结果
        {
            if(order[i]!=0)//这个桶里有数据，从上到下遍历这个桶并将数据保存到原数组中
            {
                for(int j=0;j<order[i];j++)
                {
                    array[k]=bucket[i][j];
                    k++;
                }
            }
            order[i]=0;//将桶里计数器置0，用于下一次位排序
        }
        n*=10;
        k=0;//将k置0，用于下一轮保存位排序结果
    }

}

欢迎进×××流学习，更多不定期福利、免费课程等你来~

QQ群号：560819979

敲门砖（验证信息）：浪淘沙

Java排序算法-Java入门|Java基础课程

标签：stat   课程   下界   分治   应用   计算机   数组   指针   大量数据   

原文地址：http://blog.51cto.com/13477015/2174330