标签：整数 表示法 移位 运算 式表 span 产生 符号位 上进
1 位逻辑运算符：
& （位 “与”） and
^ （位 “异或”）
| （位 “或”） or
~ （位 “取反”）
2 移位运算符：
<<（左移）
>>（右移）
优先级
位“与”、位“或”和位“异或”运算符都是双目运算符，其结合性都是从左向右的，优先级高于逻辑运算符，低于比较运算符，且从高到低依次为&、^、|
0&1 =0;
0&0 =0;
1&0 =0;
1&1 =1;
00111
& =00100
11100
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 &1的结果就是取二进制的最末位。
这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数是偶数，最末位为1表示该数为奇数
-----------------------------------------------------------------
| 运算---------------------------1个为1--》1
0|0=0;
0|1=1;
1|0=1;
1|1=1;
00111
| =11111
11100
| 运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数|1的结果就是把二进制最末位强行变为1
如果需要把二进制最末位变成0，对这个数 |1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最近接的偶数
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^ 运算---------------------------不同则为1，相同则为0 // 当且仅当两个运算值中有一个为1但不同时为1时，返回值为1
0^1=1；
1^0=1；
1^1=0；
0^0=0；
00111
^ =11011
11100
^运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，^运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a^b)^b=a；
^运算可以用于简单的加密，比如原始值int a = 19880516;密钥 int key =1314520; 进行加密 int data=key^a = 20665500;解密 data^key == a；
^运算还可以实现两个值的交换而不需要中间变量，例如：
先看加减法中交换实现
void swap(long int &a,long int &b)
{
a = a+b;
b = a-b;
a = a-b;
}
void swap(long int &a,long int &b)
{
a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;
}
所以 ^运算可以理解成类似加法（+）记忆 ， 1+1 =0，1+0 =1，0+1 =1；0+0 =0；//因为机器码是二进制，1+1=2%2 =0，其实不然
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~运算
~运算的定义把内存中的0和1全部取反，所以~运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没符号，如果~的对象是无符号整数（不能表示负数），那么他的值就是它与它的上界限的之差，因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。
下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。
var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writenln(a);
end.
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
unsingned short a = 100;
a = ~a;
printf("%d\n",a);
return 0;
}
如果 ~的对象是有符号的整数，情况就不一样了，详见最后面整数类型的存储
a<<b 表示把a转为二进制后左移b位（在后面添加 b个0）。例如100的二进制表示为1100100，100左移2位后（后面加2个零）：1100100<<2 =110010000 =400，可以看出，a<<b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后面添加一个0就相当该数乘以2，2个零即2的2次方 等于4。通常认为a<<1比a*2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到<<运算。你可以方便的用1<<16 -1 来表示65535（unsingned int 最大值16位系统）。很多算法和数据结构要求数据模块必须是2的幂，此时就可以用<<来定义MAX_N等常量。
>>运算
和<<相似，a>>b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们经常用>>1来代替 /2（div 2),比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用>>代替除法运算可以使程序的效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢的出奇的%（mod）运算，效率可以提高60%。
int a =100;
a/4 ==a>>2;
位移运算运用 例子
1.合并数据
缩短数据：int a =4; int b=2; 可以将数据 a,b 保存于一个变量 int c中,在此int 类型为32位
a=0x0000 0004; / /十六进制
b=0x0000 0002;
int c = a<<16;//左移操作-将a数据向左移动16位=0x0004 0000
c |=b; // （|）操作，一个为1 则为1，所以高16位不变，低16位值为 b值，即c = 0x0004 0002;完成数据的合并
2.解析数据
上面c = 0x0004 0002;
读取高位：int a1 = c>>16; / / 右移16位，消除低位数据，读取高位数据 a1 = 0x0000 0004
读取低位：int a2 = c&0xFFFF; //（&）操作，2个都为1 则为1，所以0xFFFF 即 0X0000 FFFF, 所以高位全为0，低位的 1不变，0还是0，a2=0x0000 0002,读取低位成功
读取低位2：int a2 = c<<16; 消除高位，低位存入高位，a2=0x0002 0000;
a2 = a2>>16;高位存入低位，消除低位; a2 = 0x0000 0002;
下面列举一些常见的二进制位的变换操作
| 去掉最后一位 | 101101->10110 | x>>1 |
| 在最后加一个0 | 101101->1011010 | x<<1 |
| 在最后加一个1 | 101101->1011011 | (x<<1)+1 |
| 把最后一位变成1 | 101100->101101 | x | 1 |
| 把最后一位变成0 | 101101->101100 | (x |1) - 1 |
| 最后一位取反 | 101101->101100 | x ^ 1 |
| 把右数第K位变成1 | 101001->101101,k=3 | x | (1<<(k-1)) |
| 把右数第K位变成0 | 101101->101101,k=3 | x & ~(1<<(k-1)) |
| 右数第k位取反 | 101001->101101,k=3 | x ^ (1<<(k-1)) |
| 取末三位 | 1101101->101 | x &7 |
| 取末k位 | 1101101->1101,k=5 | x & (1<<k-1) |
| 取右数第k位 | 1101101->1,k=4 | x >> (k-1)&1 |
| 把末k位变成1 | 101001->101111,k=4 | x|(1<<k-1) |
| 末k位取反 | 101001->100110,k=4 | x^(1<<k-1) |
| 把右边连续的1变成0 | 100101111->100100000 | x&(x+1) |
| 把右起第一个0变成1 | 100101111->100111111 | x|(x+1) |
| 把右边连续的0变成1 | 11011000->11011111 | x|(x-1) |
| 取右边连续的1 | 100101111->1111 | (x^(x+1))>>1 |
| 去掉右起第一个1的左边 | 100101000->1000 | x&(x^(x-1)) |
最后一个会在树状数组中用到
整数类型的储存
前面 所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsingned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。
但计算机如何处理有正负符号的整型呢？这个设计到补码，反码知识点，请看下面
假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为：00000000 00000000 00000000 00000101
5转换成二进制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。
现在想知道，-5在计算机中如何表示？
在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。
什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。
四：反码，补码
所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。
反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。
补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。
有原码就可以了，为什么还需要反码和补码？
反码是用来算补码的，原码和补码都是用在CPU的基本运算里的，比如数据类型是short：
计算5 - 2，并由于实际上CPU没有实现减法电路（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法，原码没有办法做减法，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码，原码转换成补码都是在计算机的最底层进行的）。原码计算是 5＋（－2）
0101
＋1010
-------
1111
＝－7？显然出错
所以不管正数还是负数，都使用补码来表示（正数原码和补码是一样的）， 2的补码是1110，然后用5补 + 2补
0101
+ 1110
------
0011
＝3，正确
《补码的运算方法详见此链接》
所以理论上（也仅仅是理论上）我们只要让减数通过一个求反电路，再通过一个+1电路，然后通过加法电路就可以实现减法了。
所以补码的设计目的是:
⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计
原码：在数值前直接加一符号位的表示法。
例如： 符号位 数值位
[+7]原= 0 0000111 B
[-7]原= 1 0000111 B
注意：a： 数0的原码有两种形式：
[+0]原=00000000B
[-0]原=10000000B
b： 8位二进制原码的表示范围：-127～+127
反码：正数：正数的反码与原码相同。
负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。
例如： 符号位 数值位
[+7]反= 0 0000111 B
[-7]反= 1 1111000 B
注意：a：数0的反码也有两种形式，即
[+0]反=00000000B
[- 0]反=11111111B
b.：8位二进制反码的表示范围：-127～+127
补码：
1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加 上2时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的； 因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必 须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。
同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始 计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。
2）补码的表示：
正数：正数的补码和原码相同。
负数：负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。
例如： 符号位 数值位
[+7]补= 0 0000111 B
[-7]补= 1 1111001 B
补码在微型机中是一种重要的编码形式，请注意：
a： 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真 值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。
b.：与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。
c.：若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。
源码、反码和补码之间的转化
由于正数的源码、反码、补码表示方法相同，不需转换。
在此，仅以负数情况分析。
1）已知原码，求补码
例：已知某数X的源码为10110100B，试求X的补码和反码。
解：由【X】原=10110100B看出，X为负数。求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；求其补码时，再在其反码的末位加1。
10110100 原码
11001011反码，符号位不变，数值取反
1+1
11001100 补码
故：【X】补 = 11001100B，【X】反 = 11001011B。
2）已知补码，求原码。
分析：按照求负数补码的你过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 的方法。
例：已知某数X的补码1110110B，试求其原码。
解：由【X】补 = 11101110B知，X为负数。
采用逆推法
11101110 补码
11101101反码（符号位不变，数值取反加1）
10010010原码（符号位不变，数值取反）
算法2：
设源码 = A；可见A为负数
设反码 = B；
因为补码 = 反码+1；所以
B +1 = 11101110；
B = 11101110 - 1
= 11101101;
A =B取反（符号位不变） = 10010010；
有符号数运算时的溢出问题，看下下面两个题目
两个数相加怎么变成了负数？？？
1） （+72）+（+98）=？
0 1 0 0 1 0 0 0 B +72
+
0 1 1 0 0 0 1 0 B +98
1 0 1 0 1 0 1 0 B -86
两负数相加怎么会得出正数？？？
2）（-83）+（-80）=？
1 0 1 0 1 1 0 1 B -83
+
1 0 1 1 0 0 0 0 B -80
0 1 0 1 1 1 0 1 B +93
思考：这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？
答案：这是因为发生了溢出。
如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1
当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。
对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是：两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。
而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。
在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。故需设清除各部分及清除全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会溢出：当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。
在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。
提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。
1.原码的求法:
(1)对于正数,转化为二进制数,在最前面添加一符号位(这是规定的),用1表示负数,0表示正数.如:0000 0000是一个字节,其中0为符号位,表示是正数,其它七位表示二进制的值.其实,机器不管这些,什么符号位还是值,机器统统看作是值来计算. 正数的原码、反码、补码是同一个数!
(2)对于负数,转化为二进制数,前面符号位为1.表示是负数.
计算原码只要在转化的二进制数前面加上相应的符号位就行了.
2.反码的求法:对于负数,将原码各位取反,符号位不变.
3.补码的求法:对于负数,将反码加上二进制的1即可,也就是反码在最后一位上加上1就是补码了. --------------------- 本文来自 wuguai4 的CSDN 博客 ，全文地址请点击：https://blog.csdn.net/wuguai4/article/details/7311953?utm_source=copy
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