类欧几里得算法浅谈(部分)

学习类欧几里得算法,因为是蒟蒻,感觉网上很多都看不懂,所以自己写一篇快活快活

第一类求和式:

\(F(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor\)

对于这样形式的求和,我们有以下的推导:

1.当\(a>=c\)并且\(b>=c\)时,我们有:

对于\(\lfloor\frac{a}{c}\rfloor\),

它实际等价于\(\lfloor\frac{a\mod c}{c}\rfloor+\lfloor\frac{a}{c}\rfloor\),

于是对于原先的式子,我们可以推出:

\(F(a,b,c,d,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor\) =\(\sum_{i=0}^n(\lfloor\frac{a\mod c*i+b\mod c}{c}\rfloor+\lfloor\frac{a*i}{c}\rfloor+\lfloor\frac{b}{c}\rfloor)\)

进一步化为递归的形式就是:

\(F(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{(n+1)n}{2}*\lfloor\frac{a}{c}\rfloor+(n+1)*\lfloor\frac{b}{c}\rfloor\)

2.当\(a<c\)或者\(b<c\)时我们有:

我们观察可以很容易的发现,原先的和式的右边一大堆,去掉下取整实际上表示出来就是一条直线,即:

\(F=kx+b\),(\(k=\frac{a}{c},b=\frac{b}{c})\),

然后我们就可以轻轻松松的画出一个一次函数的图像,在坐标系里表现出的就是一个直角梯形,函数的定义域\(D\in[0,n]\),函数的值域\(Z\in[b,m]\),其中令\(m=\frac{a*n+b}{c}\),也就是当\(i\)等于\(n\)时的值.我们要求定义域内函数值的和,自然就是求积分,也就是这个直角梯形的面积.然后加上下整除符号,我们需要求出的就是这个梯形内整点的个数.

我们枚举所有整点的纵坐标,就有:

\(F=\sum_{i=0}{n}\sum_{j=1}{m}[\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j]\)

\(=\sum_{i=0}{n}\sum_{j=0}{m-1}[\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j+1]\)

对于\([\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j+1]\),我们知道,大于等于去掉下整除依旧成立,于是

\(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[(\frac{a*i+b}{c})>=j+1]\)

将分母乘过去,\(b\)移过去:

\(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[a*i>=j*c+c-b]\)

\(a\)除过去:

\(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[i>=\frac{(j*c+c-b)}{a}]\)

我们注意到,\(j\)的变化与\(i\)是无关的,于是我们可以将两个\(\sum\)交换

\(=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i>=\frac{(j*c+c-b)}{a}]\)

\(=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i>\frac{(j*c+c-b-1)}{a}]\)

(分子减一,去掉等号)

去掉内层\(sigma\):

\(=\sum_{j=0}^{m-1} n-\frac{(j*c+c-b-1)}{a}\)

(这个显然等价)

\(=n*m-\sum_{j=0}^{m-1} \frac{(j*c+c-b-1)}{a}\)

老规矩,转换成递归形式:

\(=n*m-F(c,c-b-1,a,m-1)\)

(完)