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关于曲线 规划 算法 线性 S曲线 贝塞尔曲线

时间:2018-10-20 11:00:32      阅读:252      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:ati   float   surf   and   必须   span   形式   分享   bezier   

     工控领域经常会涉及速度加减速的算法:线性加减速,S曲线加减速(sin函数,拓展其他三角函数曲线), 贝塞尔曲线,等等。

 线性加减速:    设定起始速度V0,目标速度V1,加速时间Ta(s,或加速度),这个的任务执行周期为ΔT( ms 级 或者设定定时器,定时时间必须大于任务周期否则还是按任务周期计算输出)。

    int  iCounter ;

  iCounter = Ta/(ΔT/1000) ;     //计算达到输出  任务需执行的  周期数。

 for(int i =0; i<iCounter;i++ ) 

  Vout = V0+i*(V1-V0)/iCounter;          // Vout  为每个周期 输出 的 目标 速度。

 

S曲线加减速: 设定起始速度V0,目标速度V1,加速时间Ta(s,或加速度),这个的任务执行周期为ΔT( ms 级 或者设定定时器,定时时间必须大于任务周期否则还是按任务周期计算输出)。

  int  iCounter ;

  iCounter = Ta/(ΔT/1000) ;     //计算达到输出  任务需执行的  周期数。

  for(int i =0; i<iCounter;i++ ) 

     Vout = V0+(V1-V0)(1+Sin( (pi/iCounter)*i-pi/2 ));          // Vout  为每个周期 输出 的 目标 速度。

 

 

贝塞尔曲线:很少或者基本不用贝塞尔曲线来规划 曲线加减速,但是有必要了解贝塞尔曲线的原理,及其低阶曲线的算法(3、4控制点)。

贝塞尔曲线原理:

下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。

在平面内任选 3 个不共线的点,依次用线段连接。技术分享图片

在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD,与该线段总长 AB 的比例。技术分享图片

根据上一步得到的比例,从第二条线段上找出对应的点 E,使得 AD:AB= BE:BC技术分享图片

连接这两点 DE。技术分享图片

从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F,使得 DF:DE= AD:AB= BE:BC技术分享图片

到这里,我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来,请稍微回想一下中学所学的极限知识,让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B,找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后,我们也得到了这条贝塞尔曲线。技术分享图片

如果你实在想象不出这个过程,没关系,看动画!技术分享图片

回过头来看这条贝塞尔曲线,为了确定曲线上的一个点,需要进行两轮取点的操作,因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线(这样记忆很直观,但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的)。

当控制点个数为 4 时,情况是怎样的?技术分享图片

步骤都是相同的,只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点,要进行三轮取点操作。如图,AE:AB= BF:BC= CG:CD= EH:EF= FI:FG= HJ:HI,其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。技术分享图片

这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。技术分享图片

看过了二次和三次曲线,更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次(线性)贝塞尔曲线存在吗?长什么样?根据前面的介绍,只要稍作思考,想必你也能猜出来了。哈!就是一条直线~技术分享图片

能画曲线也能画直线,是不是很厉害?要绘制更复杂的曲线,控制点的增加也仅仅是线性的。这一特点使其不光在工业设计领域大展拳脚,就连数学基础不好的人也可以比较容易地掌握,比如大多数平面美术设计师们。技术分享图片

上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面,以及更进一步的非均匀有理 B 样条(NURBS),早已成为当今计算机辅助设计(CAD)的行业标准,不论是我们平常用到的各种产品,还是在电影院看到的精彩大片,都少不了它们的功劳。

 

2. 思路解析

百度百科上给出的一般参数公式是这样的: 给定点 P0,P1,P2, ... ,Pn,其贝塞尔曲线公式如下(即贝塞尔曲线上的点 B(t) 可由如下公式计算得到):

 
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这里写图片描述

可以看出其公式是由一个格式固定的表达式之和来表示,这个表达式就是关键:

 
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该表达式可分为四个部分看:

  • 从 i 递增到 n 的常数部分
  • Pi 坐标部分
  • (1 - t)^(n - i)
  • t^i 可以看出这四部分都与 i 的值相关,此外 t 值的计算方式为:i/(n+1)
如果直接从上面的公式上找规律比较抽象,那就从具体的例子中找规律吧:

设 Bt 为要计算的贝塞尔曲线上的坐标,N 为控制点个数,P0,P1,P2..Pn 为贝塞尔曲线控制点的坐标,当 N 值不同时有如下计算公式: 如 N 为 3 表示贝塞尔曲线的控制点有 3 个点,这时 n 为 2 ,这三个点分别用 P0,P1,P2 表示。

  • N = 3: P = (1-t)^2P0 + 2(1-t)tP1 + t^2*P2
  • N = 4: P = (1-t)^3P0 + 3(1-t)^2tP1 + 3(1-t)t^2P2 + t^3*P3
  • N = 5: P = (1-t)^4P0 + 4(1-t)^3tP1 + 6(1-t)2*t2P2 + 4(1-t)t^3P3 + t^4*P4

将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示: 设有常数 a,b 和 c,则该表达式可统一表示为如下形式: a * (1 - t)^b * t^c * Pn;

分析当 N 分别为3,4,5 时对应 a,b,c 的值: 如 N = 3 时,公式有三个表达式,第一个表达式为 (1-t)^2*P0,其对应 a,b,c 值分别为:1,2,0

  • N = 3:   1,2,0   2,1,1   1,0,2 a: 1 2 1 b: 2 1 0 c: 0 1 2
  • N = 4:   1,3,0   3,2,1   3,1,2   1,0,3 a: 1 3 3 1 b: 3 2 1 0 c: 0 1 2 3
  • N = 5:   1,4,0   4,3,1   6,2,2   4,1,3   1,0,4 a: 1 4 6 4 1 b: 4 3 2 1 0 c: 0 1 2 3 4

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则:

  • b: (N - 1) 递减到 0     (b 为 1-t 的幂)
  • c: 0 递增到 (N - 1)     (c 为 t 的幂)
  • a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示:
    N=1:---------1 N=2:--------1  1 N=3:------1  2  1 N=4:-----1  3  3  1 N=5:---1  4  6  4  1 a 值的改变规则为: 杨辉三角

接下来就实现它:先再来一个例子
比如计算控制点坐标分别为:P0(3,8),P1(2,3),P2(2,7),想要返回 10 个在贝塞尔曲线上的点,用 java 可以这样写:

float[] p0 = {3, 8};        
float[] p1 = {4, 3};        
float[] p2 = {2, 7};        
float[][] result = new float[10][2];        
for (int i = 0; i < 10; i++)
{            
float t = i / 10;           
result[i][0] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[0] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[0] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[0]);           
result[i][1] = (float) (1 * Math.pow(1 - t, 2) * Math.pow(t, 0) * p0[1] + 2 * Math.pow(1 - t, 1) * Math.pow(t, 1) * p1[1] + 1 * Math.pow(1 - t, 0) * Math.pow(t, 2) * p2[1]);     
}

 

关于曲线 规划 算法 线性 S曲线 贝塞尔曲线

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原文地址:https://www.cnblogs.com/oneway1990/p/9820884.html

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