算法第二章上机实践报告

时间：2018-10-22 00:03:17 阅读：231 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

1、实践题目：7-3 两个有序序列的中位数（二分法解法）

2、问题描述：对于两个等长的非降序序列S1、S2，如何利用二分法的思想求出S1与S2并集的中位数，要求算法的时间复杂度为T(logn)。

3、算法描述：总体思想：采用分治与递归策略，二分法每次将问题规模减半（约减半），然后对问题进行递归处理，在进行递归的过程中对可能出现特殊的情况，就特殊安排处理。

(1) 解法一：

① 先排除两个两个等长序列的元素个数（奇和偶）的影响，首先对两个序列求中位数，求中位数的方法是如下，此方法为保证偶数序列的分割保持割后对称性，而对奇数序列不产生影响，如此可以保证递归的时候子问题也是两个等长的序列。

② 在两端标志还未出现相等或未出现其他特殊情况时，每次求得两个序列的中位数（如果序列是偶序列，则第二个序列的中位数定为A[(N-1) /2 + 1]，即中位数的后一个数），将两个中位数进行比较，若两数相等的话，则可确认为此数为所求中位数。若不相等，则对两个数中较大的数的那一序列进行减掉比这个数大的（即这个数后面）的部分，保留其他；对另一个序列（较小数所在序列）而言，则减掉比它小的（即前面的）部分，保留其他，比较后，对剩下的等长序列进行递归调用。

③ 在进行递归过程中，若还未出现相等中位数，两序列的两端标志将会不断靠近，所以此时对于实例不同的序列，就会可能出现一些特殊情况，所以下面就讲解对于所有可能出现特殊情况的解决办法，第一种情况是当两序列都只剩最后一个时，就对两数进行比较，小的为所求中位数。

④ 第二种情况为两序列都最后只剩两个数而无法再进行递归下去（陷入死循环）时，第一个序列求中位数方法不变，第二个序列变为与第一序列相同的方法求得中位数，在这样的处理下再进行递归一次，所以之后两个共剩下三个数，就分两种情况，第一种为第一个序列剩一个，第二种为第二个序列剩一个，两种情况的解决方案都为：然后把剩一个的那组的数与剩两个那组的较大的数（也就是第二个数）进行比较，取小的那个数，那个数就是我们所求中位数。

⑤ 代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int MidSearch(int a[], int b[], int la, int ra, int lb, int rb){
    int ma = (la + ra) / 2;
    int mb = (lb + rb + 1) / 2;
    
    if (la == ra && lb != rb){
        if (a[la] > b[rb])
            return b[rb];
        else 
            return a[la];
    }
    if (lb == rb && la != ra){
        if (b[lb] > a[ra])
            return a[ra];
        else 
            return b[lb];
    }
    if (la == ra && lb == rb){
        if (a[la] > b[lb])
            return b[lb];
        else 
            return a[la];
    }
    else{
        if (la == ra - 1 && lb == rb -1){
            ma = (la + ra) / 2;
            mb = (lb + rb) / 2;
        }
        if (a[ma] == b[mb]){
            return a[ma];
        }
        else if (a[ma] > b[mb]){
            MidSearch(a, b, la, ma, mb, rb);
        }
        else {
            MidSearch(a, b, ma, ra, lb, mb);
        }
    }
}

int a[100005], b[100005];
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i];
        
    for (int j = 0; j < n; j++)
        cin >> b[j];
        
    cout << MidSearch(a, b, 0, n - 1, 0, n - 1) << endl;
    
    return 0;
}

(2) 解法二：

① 如果中位数在数组a中，那么若a[m]<b[n-m-2]，此时比a[m]小的数最多只有n-2个，即a[m]不可能为第n小数，偏小更新左界;若a[m]> b [n-m-1],此时比a[m]小的数至少有n个，a[m]不可能为第n小数，偏大更新右界;若a[m]介于b[n-m-2]与b [n-m-1]则a[m]恰好为第n小数。中位数在数组b中的情况类似。

② 代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[1005], b[1005];

int mid_num(int a[], int b[], int n){
    int l = 0, r = n - 1;
    int m, tmp;
    while (l <= r){
        m = (l + r) / 2;
        tmp = (a[m] < b[n - m - 2]? b[n - m - 2]: a[m]);
        
        if (tmp > b[n - m -1])
            r = m - 1;
        else if (tmp > a[m + 1])
            l = m + 1;
        else return tmp;
    }
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    for (int j = 0; j < n; j++){
        cin >> b[j];
    }
    cout << mid_num(a, b, n) << endl; 
    return 0;
}