朴素贝叶斯算法

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朴素贝叶斯算法

1. 文本分类模型

在结束生成算法模型之前，我们将一种专门用于文本分类的算法。对于分类问题，朴素贝叶斯算法通常效果很好，而对于文本分类而言，则有更好的模型。

对于文本分类，之前提到的朴素贝叶斯算法又称之为多元伯努力事件模型(multi-variate Bernoulli event model)。模型分析，在之前已经讨论过了。这里，我们解释一下如何理解数据的生成呢？在该模型中，我们假设邮件是按照先验概率(p(y))随机发送邮件或垃圾邮件到用户手里的，之后遍历词汇表，以伯努力分布生成该邮件单词(特征向量，同时假设了各个单词在邮件中出现的概率是条件独立)，之后根据p(x_i= 1|y) =φ_i|y进行后验概率的计算，得到p(y)(只要计算后验概率的分子即可，各个类分母均相等，用于归一化)。该模型中，x取值仅有{0，1}，且生成特征的方式是以遍历词汇表的方式。

这里我们介绍另外一种方法，称之为多项事件模型(multinomial event model)。为了更好的表示，这里采用另一种表示的方法。其中，x_i表示单词i在词汇表中的地址，那么x_i取值范围是{1,2,3…|V|}，其中 |V| 是词汇表的词汇数量。举个例子而言，一封邮件有n个单词，表示为向量(x₁, x₂, . . . , x_n)，注意这里的n对于不同的文档来说是不一样的。举例而言，一封邮件开头是"a nips…"那么x₁=1,x₂=3500(词汇表中，a是第一个单词，nips是第3500个)。

在多项事件模型中，同样看看数据是如何生成呢？我们假设以随机的方式产生(当然还是存在先验概率p(y))垃圾邮件或非垃圾邮件，之后按照多项分布生成邮件中的第一个单词，在同样的分布下，生成其他的单词直到x_n(每次的生成都相互独立)，因此产生该邮件的全部概率值就是p(y)，虽然该生成概率值与之前的多项伯努力分布很像，但是代表含义不同，尤其是x_i|y现在是多项分布而不是伯努力分布。

对于新模型中的参数如下，注意这里假设了对于所有的j(j是样本的下标), p(x_j|y)的值均相等(生成哪个单词的概率分布并不依赖于该样本在整体中的位置)，其中k表示具体的单词。

φ_y = p(y=1)

φ_k|y=1 = p(x_j=k | y=1)(对于每一个j)

φ_k|y=0 = p(x_j=k | y=0) )(对于每一个j)

对于给定的数据集{(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾); i = 1, . . . , m}，其中x⁽ⁱ⁾=(x⁽ⁱ⁾₁, x⁽ⁱ⁾₂, . . . , x⁽ⁱ⁾_ni)(这里的ni表示第i的个样本中的单词数)，对于数据的最大似然函数如下：

求解最大似然函数，结果如下：

该结果显示，φ_k|y=1 的分子是单词k在每一封垃圾邮件中的出现次数的总和，分母是每一封垃圾邮件长度的总和；φ_y分子表示垃圾邮件个数，分母表示样本总数。

如果采用拉普拉斯平滑，那么结果如下，即在分子中加1，在分母中加上词汇表长度：

在许多分类问题中，尽管可能不一定是最优模型，贝叶斯模型也是最值得第一个尝试的模型，因为他相对简单且容易解释。

在文本分类的过程中，通常情况下多项事件模型比朴素贝叶斯模型要好，因为他考虑了词语出现的次数。当然，研究者仍存在争论。在文本分类中，仍然是非常优秀的。当然，考虑了词语的顺序等等，也会提高分类效果，如马尔可夫链模型，但只是很细微提高。

1. 神经网络模型

在之前的模型中，无论是logistic回归还是贝叶斯分类(朴素贝叶斯模型是前置假设是多项分布的多项事件模型，所以也可以划到logistic回归)等模型，其最终结果反映在数据上都是一条直线或是一个超平面，即这些模型均是线性模型。如果数据并不线性可分的话，这些模型的性能就会变差。针对该问题，出现了很多针对非线性可分数据进行分类的算法。其中之一就是神经网络模型，这也是出现最早的一种。

对于logistic回归，我们可以用如下的方法表示：

其中，Xi是输入的特征变量，中间的sigmoid函数用计算单元的形式表示，最终输出结果。而神经网络就是将这些简单的单元组合起来，如下图所示：

其中，a1,a2,a3是中间单元的计算输出。通常，我们也会在输入特征中则加x0=1，这样更吻合实际的logistic回归。这里，我们取函数g来表示sigmoid函数，则有下式：

这里就不再细数神经网络模型，关于神经网络模型是一个非常复杂的模型，包含的种类也很多。采用sigmoid函数作为计算单元(在神经网络中称之为神经元)，且仍然采用梯度下降法进行参数的优化，这种神经网络通常称之为反向传播(back propagation)神经网络。

上面的例子中，与输入直接相连的层称之为隐藏层(hidden layer)，与输出直接相连的称为输出层(output layer)。在神经网络中，可以自定义的设置隐藏层中神经元个数，然而我们并不知道隐藏层计算的东西的意义何在，属于黑盒子模型。此外，对于神经网络而言，获得全局最优将会更难，因为它不是凸函数优化，存在很多局部最优解。相比于神经网络，我们会更倾向于svm ，因为svm高效且无需定制，而神经网络用的会比较少，因为其存在严重的优化问题，且相对复杂。

1. 支持向量机

在上一讲我们提到了一点SVM，这里我们将详细的讲述SVM算法，当然有一部分认为SVM是最好的分类算法。在监督式学习算法中，SVM无需做出太多的改动，就能得到很好的分类效果。为了更好的讲述SVM，我们需要从划分数据的空间间隔(margins)说起，然后讨论最优间隔分类器(optimal margin classifier)，其中会涉及拉格朗日对偶(Lagrange duality)。此外，还会涉及核方法(kernels)以此解决高维特征数据的分类问题，最后我们使用SMO(Sequential minimal optimization，序列最小优化)。

1. 直觉上的间隔

首先我们从间隔开始说起。这里先从直观的角度去看间隔和分类的效果，之后再正式的推倒。考虑一下logistic回归，概率p(y=1 | x;θ) 是等于h_θ(x) = g(θ^TX) 的，如果h_θ(x)大于0.5(或者等价于θ^TX大于0)，那么我们就预测分类结果是1，反之则预测为0。现在我们考虑一个训练样本y=1，如果θ^TX越大，那么h_θ(x) = p(y = 1|x; w, b) 越大，因此我们越有信心(confidence)判断结果为1。通俗的说，如果θ^Tx ? 0，那么我们就有十足的信心认为y=1，同样如果θ^Tx ? 0，那么我们就有十足的信心认为y=0。因此，对于所有的训练集合，如果我们找到了合适的参数，使得在y⁽ⁱ⁾ =1的样本中 θ^Tx⁽ⁱ⁾ ? 0，而在y⁽ⁱ⁾ =0的样本中 θ^Tx⁽ⁱ⁾ ? 0，这就暗示了我们有很大的信心说这是一个好的分类器。这个想法看起来很通俗直观，之后我们会用正式的表达式表示函数间隔。

此外，我们用另一种直观的表示，如下图所示，x标记的点表示y=1的样本点，o标记的点表示y=0的样本点，中间的决策边界(decision boundary)如图所示，该边界直线方程是θ^Tx=0。其中A点离决策边界非常远，那么θ^Tx⁽ⁱ⁾ ? 0，也就是说我们有很大的信心认为A点属于y=1类别。而C点离决策边界较近，那么我们就没A点和B点那么大的信心认为C点属于y=1。通俗的说，就是在决策边界的两边的点，距离决策边界越远的点，我们越有信心确定该点的所属分类。即找到一个分割两类样本的决策边界，且使得样本点离决策边界足够远，这样我就更有信心确定该点的所属分类。

1. 符号表示

为了更好的讨论SVM，这里使用一些新的符号表示。这里仍然是从二元分类说起，对于类别为y，特征为x的问题，我们使用y ∈ {?1, 1} (与之前的 {0, 1}不同)表示不同的类别。与之前线性分类器不同的向量参数θ不同，这里的参数使用w和b，分类器假设为：

h_w,b(x) = g(w^Tx + b)

其中，如果z ≥0，则g(z) = 1，反之，z<0，则g(z) = -1。这里设置两个不同参数，故可以把截距项b单独的对待(与之前不同，之前会在特征数据中增加x₀=1)。简单的看，b类似于之前的θ₀，而w则表示了[θ₁,θ₂,…θ_n]^T。需要注意的是，与之前定义的g不同，这里的g仅有-1和1两个值，中间并没有估计y=1的概率。

1. 几何间隔

这里我们正式的表示函数间隔(functional margin)和几何间隔(类似于点到直线距离公式，但有区别)。对于一个训练样本(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾)，函数间隔为

?γ ⁽ⁱ⁾= y⁽ⁱ⁾(w^Tx + b)

如果y⁽ⁱ⁾ = 1，为了让函数间隔?γ⁽ⁱ⁾越大(即预测为y=1类的信心愈大)，那么我们希望w^Tx + b是一个非常大的正数。相反，如果y⁽ⁱ⁾ = -1，为了让函数间隔?γ⁽ⁱ⁾越大，那么我们希望w^Tx + b是一个非常小的负数。此外，如果y⁽ⁱ⁾(w^Tx + b) > 0，则说明该样本的分类预测正确。因此，函数间隔?γ⁽ⁱ⁾越大，则说明我们越有信心得到一个正确的分类结果。

对于一个选择了函数g(仅有结果{-1,1})的线性分类器，有一个特征使得他并不能很好的度量信心。对于g，如果我们把w和b分别用2w和2b来替换，那么g就可以表示为g(2w^Tx + 2b)，但是这对h_w,b(x)没有任何影响，因为h_w,b(x)仅依赖于正负号。但是对于间隔来说却是翻倍了，换句话说我们不需要考虑实际的样本，而仅通过改变w和b的值就可以无限的扩大间隔。因此，直觉上我们希望通过归一化如||w||₂= 1来解决这个问题。我们之后在进行讨论归一化的问题。

上面的函数间隔定义是针对于一个样本，而对于给定的数据集S = {(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾); i = 1, . . . , m}，这里我们定义的函数间隔为有所间隔中最小的间隔：

?γ = min_i=1-m( γ⁽ⁱ⁾ )

现在我们讨论一下几何间隔(geometric margins)，考虑下图：

对应(w, b)的决策边界如图所示，其中w正交于超平面。(对于直线 w^T x+b=0,方向为 )。对于表示训练集合中输入特征x(i)且分类为y⁽ⁱ⁾ =1的A点而言，它到决策边界的距离为 γ⁽ⁱ⁾，即线段AB。那么我们如何求得γ⁽ⁱ⁾呢？我们知道w/||w|| 表示B到A的单位向量，即方向向量w的单位向量。对于已知A点是x⁽ⁱ⁾，那么B点的输入为：x⁽ⁱ⁾ - γ⁽ⁱ⁾ *( w/||w||) (即由A点按照向量w的反方向移动γ⁽ⁱ⁾个单位之后得到B点)。同时，我们知道B点在决策边界上，满足决策边界方程。因此有：

w^T ( x⁽ⁱ⁾ - γ⁽ⁱ⁾ *(w/||w||) ) + b = 0

因为w^Tw/||w|| = ||w||，因此求得γ⁽ⁱ⁾ = (w^T/||w|| ) x⁽ⁱ⁾ + b / ||w|| 。这里求得的距离是针对y=1的A点，距离γ是正数。如果是在决策边界的另一侧呢？

更普遍的说，我们定义几何距离(geometric margin)，对于给定的训练样本(x⁽ⁱ⁾ ，y⁽ⁱ⁾ )，几何距离如下：

γ⁽ⁱ⁾ = y⁽ⁱ⁾ ( (w^T / ||w|| ) x⁽ⁱ⁾ + b / ||w|| )

注意如果 ||w|| = 1，那么几何间隔恰好等于函数间隔，这也就是两种不同表示之间的关系。同样，几何间隔不随着参数wb尺度的改变而改变。 举例而言，如果w和b分别扩大一倍为2w和2b，那么几何间隔不会变化(因为分母||w||也会随之变为2||w||)。在后面。这会非常方便做一些变化处理等，比如我们可以利用这该不变性灵活的处理w和b，比如通过缩放wb使得|w1| = 5 或者 |w1 + b| + |w2| = 2等等。

最后，对于给定的训练集合S = {(x⁽ⁱ⁾, y⁽ⁱ⁾); i = 1, . . . , m}，这里我们定义的几何间隔为有所几何间隔中最小的间隔：

γ = min_i=1-m( γ⁽ⁱ⁾ )

朴素贝叶斯算法

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